Kongruenz und Ähnlichkeit

In der Geometrie und anderen Bereichen der Mathematik werden dir häufig die Begriffe „Kongruenz“ und „Ähnlichkeit“ begegnen. Dieser Artikel verrät dir, was im Geometrieunterricht an der Schule damit gemeint ist, und weist dich auf mögliche Fehler hin.

Kongruenz

Wie so oft in der Mathematik verdanken wir diesen Begriff den Völkern der Antike. Das lateinische Wort „congruens“ bedeutet „übereinstimmend“, „passend“ oder „gleichförmig“.

Obwohl das Wort Kongruenz schon im Namen eine wirklich gute Beschreibung trägt, haben sich die Mathematiker eine genauere Definition ausgedacht.

„Zwei Figuren sind genau dann kongruent, wenn sie sich durch eine Kongruenzabbildung ineinander umwandeln lassen.“

Kongruenzabbildungen

Bei diesen Abbildungen handelt es sich schlicht um einige erlaubte Bewegungen: Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung.

Dabei ist es erlaubt, beliebig viele dieser Abbildungen nacheinander auszuführen. Wenn du also eine Figur durch Verschieben (ohne Verformung), Drehen oder Spiegeln auf eine andere Figur legen kannst, sodass die Figuren exakt gleich aussehen (und auch gleich groß sind!), so handelt es sich um zwei kongruente Figuren.

Kongruent sind die beiden Figuren, wenn du sie durch die erlaubten Abbildungen ineinander umwandeln kannst. Beginnen wir mit dem Verschieben.

Erlaubt ist hier nur eine Parallelverschiebung (auch Translation genannt). Das ist eine Verschiebung, die jeden Punkt in dieselbe Richtung um dieselbe Stecke verschiebt.

Verschieben wir das linke Fünfeck zunächst ein Stück nach rechts.

Um die beiden Abbildungen zur Deckung zu bringen, drehen wir nun die linke Abbildung im Uhrzeigersinn um Punkt A. Tatsächlich passen beide Figuren exakt aufeinander.

Ein weiteres Beispiel:

Betrachten wir die beiden Dreiecke hier. Sind sie kongruent?

Vielleicht fällt dir schon auf, dass das Drehen der Figur hier nicht hilfreich ist.

Nun genügt es, das gespiegelte linke Dreieck nach rechts zu verschieben, um es mit dem anderen Dreieck zur Deckung zu bringen.

Kongruenzkriterien für Dreiecke

Nicht immer wirst du solche Probleme mit einer Zeichnung lösen können, da zeichnerische Verfahren ziemlich ungenau sind.

Daher gibt es für Dreiecke eine Reihe von Kriterien, anhand derer du auch ohne Zeichnung erkennen kannst, ob zwei Dreiecke kongruent sind. Du solltest dir diese Sätze merken, da Dreiecke z.B. die Grundlage der meisten Geometriedarstellungen von Computern (sogar für Kugeln) sind. Außerdem brauchst du dieses Wissen natürlich für Schulaufgaben.

Stimmen zwei ebene (also nicht z.B. auf eine Kugel gezeichnete) Dreiecke in

• drei Seitenlängen: SSS (Seite, Seite, Seite) oder
• zwei Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels: SWS (Seite, Winkel, Seite) oder
• zwei Seitenlängen und dem Maß des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt: SSW (Seite, Seite, Winkel) oder
• einer Seitenlänge und den Maßen der beiden anliegenden Winkel: WSW (Winkel, Seite, Winkel) oder
• einer Seitenlänge, dem Maß eines anliegenden und dem Maß des gegenüberliegenden Winkels: WWS (Winkel, Seite, Winkel)

überein, so sind sie kongruent. WSW und WWS brauchst du dir nicht getrennt zu merken, da im Dreieck eine Winkelsumme von 180 Grad herrscht: Wenn du also zwei Winkel hast, so ergibt sich der dritte Winkel automatisch.

Etwas aufpassen musst du bei SSW. Es lassen sich aus zwei gleichen Seitenlängen und einem Winkel nämlich manchmal zwei verschiedene Dreiecke konstruieren.

Hier können wir sehen, dass sich für die gleichen Seitenlängen AC und CB und für den gleichen Winkel bei A zwei Punkte B und B’ finden lassen. Das Dreieck AB’C ist nicht kongruent zu ABC! Vermeiden kannst du solch ein Problem, indem du immer darauf achtest, dass der Winkel bei SSW der längeren Seite gegenüber liegt. Auch für einen stumpfen Winkel (größer als 90°) und für den Fall eines rechten Winkels entstehen keine Mehrdeutigkeiten.

Ähnlichkeit

Ein eng mit der Kongruenz verwandtes Konzept der Geometrie ist das der Ähnlichkeit.

Zwei Figuren sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch Ähnlichkeitsabbildung(en) ineinander umgewandelt werden können.

Zu den Kongruenzabbildungen (Verschiebung, Drehung, Spiegelung) kommt bei der Ähnlichkeit noch die zentrische Streckung. Im Gegensatz zur Kongruenz brauchst du bei der Ähnlichkeit nicht darauf achten, dass die Figuren gleich groß sind.

Was genau ist eigentlich eine zentrische Streckung?

Eine Abbildung ist dann eine zentrische Streckung, wenn sie alle Strecken in einem bestimmten Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken immer parallel zu den ursprünglichen Stecken sein müssen.

Grafisch darstellen kann man eine zentrische Streckung, indem man von einem Punkt Z Strahlen durch die Punkte der Ursprungsfigur zeichnet (z.B. hier durch die Eckpunkte des Dreiecks). Dabei müssen sich dann die Streckenlängen von Z zu den Ursprungspunkten zu den Streckenlängen von Z zu den Bildpunkten in einem Verhältnis m verhalten.

Im gezeigten Beispiel entspricht also das Verhältnis von ZA zu ZA’ dem von ZB zu ZB’ und dem von ZC zu ZC’.

Das gilt natürlich für alle Figuren, nicht nur für Dreiecke.

Für negative Werte von m liegen alle Bildpunkte auf Geraden durch Z und die Ursprungspunkte, doch auf der anderen Seite von Z.

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Sehr ähnlich zu den Kongruenzsätzen für Dreiecke sind die Ähnlichkeitssätze.

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich,

• wenn sie in zwei (und wegen der Winkelsumme damit automatisch in drei) Winkeln übereinstimmen: WWW (Winkel, Winkel, Winkel) oder
• wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen: SSS (Seitenlänge, Seitenlänge, Seitenlänge) oder
• wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen: SWS (Seitenlänge, Winkel, Seitenlänge)
• wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im gegenüberliegenden Winkel der größeren Seite übereinstimmen: SSW (Seitenlänge, Seitenlänge, Winkel)

Die Ähnlichkeit wird nur durch gleiche Verhältnisse von Streckenlängen und durch Winkel vermittelt. Keine zwei dieser Dreiecke sind kongruent, doch alle sind (im Rahmen der Zeichnungsgenauigkeit) ähnlich. Das Verhältnis der Seitenlängen orange zu blau zu grün usw. ist bei allen Dreiecken gleich, auch sind die Winkel gleich.

In Schulaufgaben solltest du auf Winkel- und Seitenangaben achten, denn die Skizzen sind nicht immer genau (oder sollen sogar bewusst einen falschen Eindruck vermitteln). Häufig werden entsprechende Seiten durch einen oder mehrere Striche markiert (z.B. alle gelben Seiten sind entsprechend, oder alle Seiten mit 2 Querstrichen sind entsprechend).