Zahlenfolgen

Yvonne Kraus


Eine Zahlenfolge ist eine Auflistung verschiedener Zahlen, die nach bestimmten Regeln aufeinander folgen. Ein Beispiel für eine Zahlenfolge lautet {1, 3, 5, 7, …}. Zahlenfolgen kann man daher auch als Funktionen beschreiben, denn für jede Zahl der Folge ist genau bestimmt, wie sie zustande kommt. Es gibt endliche und unendliche Zahlenfolgen. Die einzelnen Glieder einer Zahlenfolge bezeichnet man mit a1, a2, a3 und so weiter. Die ganze Zahlenfolge schreibt man entsprechend {an} = {a1 , a2 , a3 , …}.

Wozu braucht man Zahlenfolgen?

Mit Zahlenfolgen kann man Muster und Entwicklungen beschreiben. Vielleicht kennst du die Anekdote vom Bauern, der sich von einem chinesischen Kaiser belohnen ließ, indem er sich Reis auf ein Schachbrett aufschichten ließ: 1 Reiskorn auf das erste, 2 Reiskörner auf das zweite, 4 auf das dritte, 8 auf das vierte und auf jedem nachfolgenden immer doppelt so viel wie auf dem vorangegangenen. Dies ist eine (endliche) Zahlenfolge, die du so aufschreiben kannst: (an) = {1; 2; 4; 8; 16; …. ; 9.223.372.036.854.780.000}$. Diese Zahlenfolge zeigt, wie schnell exponentielles Wachstum vonstatten geht.

Ein anderes Beispiel zeigt ebenfalls eine ganz praktische Verwendung von Zahlenfolgen. Eine heiße Flüssigkeit kühlt pro Minute um 9°C ab. Angefangen bei 100°C lautet die Zahlenfolge also (an) = {100; 91; 82; 73; 64; 55; …}. Wenn du nun gerade Wasser gekocht hast und wissen möchtest, wann es nur noch 64°C warm ist, kannst du einfach in der Zahlenfolge nachschauen. DIe 64 steht an fünfter Stelle. Die erste Stelle (100°C) ist der Ausgangspunkt, sodass das Wasser nach vier Minuten eine Temperatur von 64°C erreicht hat.

Zahlenfolgen richtig notieren

Wie du in den Beispielen gesehen hast, gibt es ganz klare Rechenanweisungen, um Zahlenfolgen fortzusetzen. Daher kannst du Folgen nicht nur durch Aufzählung ihrer Glieder beschreiben, sondern auch durch Ausformulieren der Funktion, die du zur Berechnung des jeweils nächsten Glieds brauchst. Dazu schreibst du als Formel aus, wie sich ein an aus an-1 errechnen lässt.

Für das erste Beispiel (Reiskörner auf einem Schachbrett) lautet die Notation an = 2 • an-1. Jedes Glied der Folge errechnet sich als das Doppelte des vorangegangenen Glieds. Hier haben wir aber nun das Problem, das nicht angegeben ist, mit welchem Glied die Zahlenfolge startet. Denn wenn sich jedes Glied aus seinem Vorgänger ergibt, können wir natürlich nicht wissen, wie das erste Glied lautet – es hat schließlich keinen Vorgänger.

Dies kannst du lösen, indem du das erste Glied explizit benennst, also schreibst an = 2 • an-1; a1 = 1. Eine andere Möglichkeit ist es, die Funktion nicht in Abhängigkeit vom Vorgänger, sondern in Abhängigkeit von n, also der Position des Glieds in der Zahlenfolge, zu formulieren. Dann musst du dich gar nicht auf einen Vorgänger beziehen. Diese Formulierung lautet dann an = 2n-1.

Der Vollständigkeit halber wollen wir natürlich auch noch die Notation für die zweite Beispiel-Folge liefern. Diese kannst du als an = an-1-9; a1 = 100$ oder aber als an = 100 – 9 • (n-1).

Wie du eine Zahlenfolge erkennst und fortführst

Oft sollst du als Rechen-Aufgabe eine begonnene Zahlenfolge fortsetzen. Wie du oben gesehen hast, musst du dafür eine Funktion entwickeln, die dir immer genau sagt, welche Zahl an welcher Stelle stehen muss. Um diese Funktion zu finden, gehst du am besten wie folgt vor.

  1. Versuche mit möglichst einfachen Rechenoperationen (Addition oder Subtraktion), den zweiten Wert der Zahlenfolge aus dem ersten zu errechnen. Notiere dir die Operation, die du vorgenommen hast.
  2. Wenn du diese Operation auf die zweite Zahl der Folge anwendest, kommst du dann auf die dritte? Kannst du so jede vorgegebene Zahl der Reihe errechnen? Falls ja, dann herzlichen Glückwunsch! Du hast herausgefunden, wie die einzelnen Glieder der Zahlenfolge miteinander zusammenhängen und kannst so alle Glieder der Folge berechnen.
  3. Falls nein, fange wieder von vorne an, nehme aber nun auch Multiplikation und Division hinzu. Möglicherweise musst du auch zwei oder mehr Rechenschritte durchführen, um von einem Glied zum nächsten zu gelangen.
  4. Setze das Ausprobieren fort, bis du die Funktion gefunden hast, die alle Glieder erklärt.

Bekannte Zahlenfolgen

Einige Zahlenfolgen sind so wichtig, dass sie besondere Bekanntheit erlangt haben. Diese wollen wir dir natürlich vorstellen.

Gerade Zahlen / ungerade Zahlen

Gerade und ungerade Zahlen sind für viele Schülerinnen und Schüler die erste Zahlenfolge, die sie kennenlernen. Gerade Zahlen sind alle durch 2 teilbaren Zahlen. Die natürlichen Zahlen zwischen den einzelnen geraden Zahlen sind die ungeraden.

Gerade Zahlen: an = {2; 4; 6; 8; 10; ….} oder an = 2 • n oder an = an-1 + 2; a1 = 2

Ungerade Zahlen: an = {1; 3; 5; 7; 9; ….} oder an = 2 • n -1 oder an = an-1 + 2; a1 = 1

Primzahlen

Primzahlen sind die Zahlen, die nur zwei Teiler haben: sich selbst und die Zahl 1. Die Primzahlen sind tatsächlich keine Zahlenfolge in dem Sinne, dass sich jede aus ihrem Vorgänger ergibt. Es gibt keine Funktion, die die Primzahlen erklärt, weswegen jede weitere Primzahl durch Tests ermittelt werden muss. Dennoch spielen sie für die Mathematik eine so große Rolle, dass wir sie hier aufnehmen.

an = {2; 3; 5; 7; 11; ….} oder an = { x | x ist Primzahl }

Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen spielen vor allem in der Kunst eine große Rolle. Jede Zahl ergibt sich als Summe ihrer beiden Vorgänger. Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen kommt dabei immer näher an 1,61, was man als goldenen Schnitt bezeichnet. Dieser benennt das Verhältnis, in dem Proportionen zueinander stehen müssen, damit wir sie als schön oder gelungen empfinden. Zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Fibonacci-Folge geben also immer das ungefähre Verhältnis des goldenen Schnitts an. Die Fibonacci-Zahlen werden wie folgt notiert:

an = {1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ….} oder an = an-1 + an-2

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