Wachstum und Zerfall

Florian Seitz


Überall in der Natur begegnen dir Wachstum und Zerfall. Ob es um die Mikroorganismen geht, die im Moosbewuchs eines Felsens wachsen oder um den Zerfall der radioaktiven Isotope im Felsen, die Natur folgt häufig Regeln, die sich mathematisch gut beschreiben lassen. In diesem Artikel findest du einige Beispiele dazu.

Hinweise
Für das Verständnis dieses Artikels solltest du dich mit Exponentialfunktionen auskennen.

Es werden oft andere Variablen zur Darstellung von Wachstumsfunktionen verwendet. Lass dich davon nicht irritieren, es kommt auf die Zusammenhänge an.

Wachstum

Im Normalfall versteht man unter Wachstum die Zunahme einer Größe im Zeitverlauf. Ist der Wert einer Größe zu einem Zeitpunkt 2 größer als zu einem früheren Zeitpunkt 1, dann handelt es sich um positives Wachstum, oft auch nur Wachstum genannt.

Begriffe

Der Anfangswert B(0) gibt den Wert der betrachteten Größe für einen bestimmten Anfangszeitpunkt an, diesen auch als Startwert bekannten Wert legt man auf die y-Achse.

Die Wachstumskonstante k bestimmt die Steilheit des Wachstums.

Die erste Ableitung der Wachstumsfunktion B(t) wird als Änderungsrate oder Wachstumsrate bezeichnet.

Eine Halbwertszeit ist jene Zeitspanne, nach der sich der Anfangswert halbiert hat.

Lineares Wachstum

Bei einer konstanten Änderungsrate k handelt es sich um lineares Wachstum. Der Verlauf von B(t) lässt sich beschreiben durch:

Explizite bzw. Funktionsdarstellung: B(t) = B(0) + k • t- Wie du sehen kannst, wird hier zu einem Anfangsbestand für jede Zeiteinheit eine Konstante hinzugefügt.

Änderungsrate: B'(t)=k

Beispiel:

Franz ist Bierbrauer und erhält pro Arbeitsstunde einen Lohn von 12€.
Es ergibt sich für sein Gehalt B(t)  die explizite Darstellung:
B(t) = 12 • t

Exponentielles Wachstum

Bei einer zum Bestand B(t) proportionalen Änderungsrate handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

Explizite bzw. Funktionsdarstellung: B(t)= B(0)•at

Wo steckt denn hier die Wachstumskonstante? Bei Exponentialfunktionen entspricht a = 1 + k dem Wachstumsfaktor. Bei einem Wachstum k von 15 Prozent würde der Startwert für jede weitere Zeiteinheit mit 1 plus 15 Prozent, also mit 1,15, multipliziert.

Änderungsrate:

B(t) = B(0) • ln a • at

Häufig wirst du auch die Darstellung B(t)= î • B( t) mit î = ln ( 1 + i ) sehen. Bitte vergleiche dasi mit Dach hier und jenes weiter unten bei beschränktem Wachstum, es ist nicht identisch und damit eine hervorragende Quelle für Rechenfehler.

Beispiel:

Vor der Finanzkrise des Jahres 2008 bot eine französische Bank ihren Kunden 6% Zinsen auf das Tagesgeld an. Bei 1000 € Startkapital ergibt sich für das Kapital nach einem Jahr 1,06 mal so viel, also 1060€, nach einem weiteren Jahr werden es 1,06 mal so viel, das ergibt 1123,6€…

Als Formel kannst du das Kapital B in Abhängigkeit von der Zahl der Jahre t mit der Wachstumskonstante 1,06 schreiben:

B(t) = 1000 • 1,06t

Wer der Bank damals also sein Geld lieh, bekam sehr viel Zinsen, wie du eindrucksvoll anhand des Graphen erkennen kannst. Jemand, der sich von der Bank einen Kredit holte, musste aber noch mehr Zinsen zahlen, was viele Menschen überforderte, die ihr Haus mit einem Kredit finanziert hatten. So entstand die größte Finanzkrise des frühen 21. Jahrhunderts.

Beispiel:

Bakterienkulturen wachsen teils entsprechend einer Exponentialfunktion. Nach einer Anlaufphase, in der sich die Bakterien an die in ihrer Umgebung vorhandenen Nährstoffe anpassen, beginnt eine exponentielle Wachstumsphase. Ein besonders häufiges Bakterium ist Escherichia Coli, das eine Generationszeit (Zeit bis zur Zellteilung) von etwa 20 Minuten unter idealen Bedingungen aufweist.

Wird ein Bakterium in eine Nährlösung gesetzt, beginnt es nach ausreichender Nährstoffaufnahme mit der Teilung. Für die Zahl der Bakterien in der Lösung in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten kannst du schreiben:

B(t) = 1 • 2(t/20)

Ob für t nur Vielfache von 20 Sinn machen oder ob man eine frühe Teilungsphase wirklich als 1,2 Bakterien zählen kann, überlassen wir hier den Biologen und behandeln die Funktion einfach als stetig.

Berechne den Zeitpunkt, bei dem der Bakterienbestand eine Million Bakterien erreicht hat:

1000000 = 1 • 2{t/20)

1000000 = 2{t/20)

log2(1•10{ 6•20)) ≈ 398,6 $

Falls du nicht verstehst, wie diese Umformung funktioniert, wiederhole die Potenzgesetze.

Es werden 398,6 Minuten benötigt

Tatsächlich wird den Bakterien irgendwann die Nahrung ausgehen und das Wachstum recht abrupt verlangsamt. Nach einer konstanten Phase folgt dann der Untergang der Bakterienkolonie, wenn keine neuen Nährstoffe nachkommen.

Beschränktes Wachstum

Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn die Änderungsrate B'(t) proportional zu einem Restbestand S-B(t) ist.

Explizite Darstellung: B(t)=S-(S-B(0)) • qt % mit 1-k=q

Änderungsrate: Durch Umformen lässt sich eine andere Darstellung zeigen.  (1-k)t = E ln (1-k) • t

Zur Vereinfachung wird dabei kompakt -ln (1-i) = î geschrieben. Als Wachstumsrate erhältst du so: B'(t) = î • (S-B(t)). Für Berechnungen kannst du -\ln (1-i) = î einsetzen.

Eigenschaften:

Bei einem nach oben beschränkten Wachstum ist der Sättigungswert S größer als der Bestand, es folgt der Gleichung B(t)=S-(S-B(0)) • e-kt

Wenn das Wachstum bzw. der Zerfall nach unten beschränkt ist, dann… schaust du weiter unten im Text bei Beschränkter Zerfall.

Beispiel:

Jana stellt ein Thermometer vor die Haustüre. Drinnen hatte es 14 Grad, draußen hat es warme 31 Grad C. Hier handelt es sich um beschränktes Wachstum, das Quecksilber im Thermometer wird sich ausdehnen, bis es die Umgebungstemperatur erreicht hat, wärmer wird es aber nicht (außer es wird direkt von der Sonne erhitzt). Wie könnte eine Funktion aussehen, die die Erwärmung des Quecksilbers beschreibt?

B(t) = S – (S – B(0)) • e-kt

B(t) = 31-17 • e-0,06t

Wie du sehen kannst, nähert sich der Graph zunehmend langsam den 31°C. Um Temperaturen genau messen zu können, ist also Geduld gefragt.

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum gibt es auch eine Schranke, doch findet sich hier zunächst eine Zunahme der Wachstumsgeschwindigkeit, bevor diese wieder abnimmt.

Man nennt Wachstum logistisch, wenn die Änderungsrate B'(t) proportional zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko B(t) • (S-B(t)) ist. Am Wendepunkt gibt es einen Übergang vom exponentiellen zum beschränkten Wachstum.

Explizite Darstellung:

Nicht erschrecken, an einem Beispiel wird das sehr einfach.

Änderungsrate:  B'(t)= k • B(t) • (S-B(t))

Beispiel:

Eine Kolonie von 20 Kaiserpinguinen siedelt an einer besonders fischreichen Küste der Antarktis, bei guten Klimabedingungen vermehren sich die Pinguine, soweit es die Nahrung für Jungtiere zulässt.

Wenn die Kolonie aufgrund der Umgebung bis auf etwa 2000 Tiere anwachsen kann, dann ergibt sich für ein k von 0,00006

Zerfall oder Schrumpfung

Nimmt eine Größe im Zeitverlauf ab, so handelt es sich um eine Schrumpfung. In der Natur finden sich häufig Prozesse exponentieller Natur, das sollen dir einige Beispiele zeigen. Mathematisch sind die Unterschiede zu den Wachstumsprozessen winzig.

Exponentielle Abnahme

Bei der exponentiellen Abnahme hat der Wachstumsfaktor Werte zwischen 0 und 1, mit jedem Zeitschritt nimmt die Funktion also einen kleineren Wert an.

Beispiel:

Superschurke Moriarty hat sich für sein neues, atomgetriebenes Unterseeboot 1000 kg Plutonium gestohlen. Bis das U-Boot in fünf Jahren fertig gebaut ist, wird aber schon einiges des Plutoniums zerfallen sein, denn es ist radioaktiv.

Was benötigst du zur Lösung der Aufgabe? Gegeben ist der Startwert von 1000 kg Plutonium. Plutonium hat eine Halbwertszeit von 24.110 Jahren.

Vom Startwert sind nach der Halbwertszeit noch 50% übrig, du musst also den Startwert für jede Halbwertszeit mit 0,5 multiplizieren. Für zwei Halbwertszeiten hättest du also noch 25 Prozent des ursprünglichen radioaktiven Materials.

Hier hast du aber weniger als eine Halbwertszeit. Was ergibt sich in dieser Aufgabe für die Zeit geteilt durch die Halbwertszeit?

Wenn der Gauner nicht besonders eng kalkuliert hat, sollte also noch genügend Plutonium übrig sein.

Beispiel

Braunbär Igor hat im sibirischen Wald um 11 Uhr Abends einen Busch mit vergorenen Beeren vertilgt. Als ihn am nächsten Morgen um 6 Uhr der Wildhüter laut schnarchend im Wald findet, hat er noch einen Blutalkoholpegel von 1 Promille, eine Stunde später sind es noch 0,9 Promille.

Wie viele Promille Alkohol hatte er im Blut, kurz nachdem er die Beeren gefressen hatte?

Zunächst gilt es, den Wachstumsfaktor zu ermitteln.

Beim Abbau von Alkohol handelt es sich um eine exponentielle Abnahme.

Nun kannst du eine gültige Gleichung aufstellen. Nach 7 Stunden (um 6 Uhr) gilt:

Wenn der höchste Alkoholwert um 11 Uhr abends war, dann betrug dieser 2,09 Promille.

Bären betrinken sich tatsächlich gerne an vergorenem Obst. Der Autor dieses Artikels ist zum Glück noch keinem betrunkenen Bären begegnet und weiß daher nicht genau, wie groß die Änderungsrate hier ist.

Beschränkter Zerfall

Wenn das Wachstum bzw. der Zerfall nach unten beschränkt ist, dann ist der Sättigungswert S kleiner als der Bestand und es gilt: B(t)= S+ B(0) -S) • e-kt

Beispiel:

Jana holt ihr Thermometer wieder ins Haus. Während das Thermometer draußen fast genau die Umgebungstemperatur von 31 Grad Celsius hatte, kühlt es sich nun wieder auf die Temperatur im Keller ab.

B(t)= S+(B(0) -S) • e-kt

B(t)= 14+(31 -14) • e-0,06t

Hinweis

Viele Prozesse in der Natur folgen näherungsweise den hier gezeigten Funktionen. Tatsächlich handelt es sich hier aber um mathematische Modelle nach der Art „Angenommen sei eine punktförmige Kuh im Vakuum“, welche erhebliche Teile der komplexen Wirklichkeit einfach ignorieren. Der Blutzuckerspiegel des Bären steigt nicht plötzlich auf den Maximalwert und die Bakterien beginnen nicht sofort mit ihrer exakt regelmäßigen Vermehrung. Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften sind praktisch und häufig erstaunlich genau, sie lassen aber nicht immer darauf schließen, wie die Wirklichkeit funktioniert.

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