Teilbarkeit

Yvonne Kraus


Teilbarkeit ist ein mathematischer Begriff, der eine Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen beschreibt. Eine Zahl A ist durch eine andere Zahl B teilbar, wenn bei der Division von A durch B kein Rest verbleibt. B ist dann ein Teiler von A.

Wie du Zahlen auf Teilbarkeit prüfen kannst

Jede Zahl hat mindestens zwei Teiler: die 1 und sich selbst. Wenn eine Zahl keine anderen Teiler hat, handelt es sich um eine Primzahl. Für die 0 gibt es besondere Regeln in Bezug auf die Teilbarkeit: Die 0 ist Teiler keiner Zahl außer sich selbst, da jede Zahl mit 0 multipliziert 0 ergibt. Dafür ist aber jede Zahl ein Teiler der 0.

Natürlich kannst du einfach die Division durchführen und schauen, ob dabei ein Rest bleibt, wenn du wissen möchtest, ob eine Zahl der Teiler einer anderen ist. Für einige Zahlen gibt es jedoch einfachere Methoden, mit denen du die Teilbarkeit noch schneller prüfen kannst.

Teilbarkeit durch 2

Alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar, alle ungeraden sind nicht durch 2 teilbar. Das bedeutet, du musst nur auf die letzte Ziffer einer Zahl schauen, um festzustellen, ob du sie ohne Rest durch 2 teilen kannst. Endet eine Zahl auf 0, 2, 4, 6 oder 8 ist sie durch 2 teilbar, sonst nicht.

Beispiele:

4 257 ist ungerade und daher nicht durch 2 teilbar.

54 286 ist gerade und daher durch 2 teilbar.

Teilbarkeit durch 3

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl. Diese ist deutlich kleiner als die Zahl selbst, sodass man oft aus dem Einmaleins auswendig weiß, ob diese Zahl durch 3 teilbar ist – ansonsten kannst du auch von ihr wieder die Quersumme bilden.

Beispiele:

Die Quersumme von 4 257 ist 18. 18 ist durch 3 teilbar, 4 257 daher auch.

Die Quersumme von 54 286 ist 25, was nicht durch 3 teilbar ist. 54 286 ist daher auch nicht durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.

Beispiele:

54 286 endet auf 86, was nicht durch 4 teilbar ist. Also ist 54 286 auch nicht durch 4 teilbar.

1 532 endet auf 32. 32 ist durch 4 teilbar, 1 532 daher ebenfalls.

Teilbarkeit durch 5

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 5 teilbar ist, musst du nur auf die letzte Ziffer schauen. Alle Zahlen, die auf 5 oder 0 enden, sind durch 5 teilbar, alle anderen nicht.

Beispiele:

5 289 endet auf 9 und ist deswegen nicht durch 5 teilbar.

12 860 endet auf 0; du kannst sie also ohne Rest durch 5 teilen.

Teilbarkeit durch 6

Du kannst eine Zahl immer dann durch 6 teilen, wenn du sie sowohl durch 3 als auch durch 2 teilen kannst. Die Zahl muss also gerade sein und ihre Quersumme muss sich durch 3 teilen lassen.

Beispiele:

2 571 ist zwar durch 3 teilbar (Quersumme 15), aber ungerade, daher ist die 6 kein Teiler von 2 571.

570 ist gerade und durch 3 teilbar, weil die Quersumme 12 beträgt. Daher kannst du 570 auch ohne Rest durch 6 teilen.

Teilbarkeit durch 7

Die Teilbarkeit durch 7 kannst du auch durch eine Regel prüfen, die allerdings etwas komplizierter als alle anderen ist. Dazu teilst du deine Zahl in zwei Zahlen, indem du sie vor der vorletzten Stelle „durchschneidest“. Dann addierst du das Doppelte des ersten Teils zum zweiten Teil, und wenn du das Ergebnis durch 7 teilen kannst, ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar.

Beispiele:

52 125 teilst du auf in 521 und 25. Du rechnest 2 • 521 + 25 = 1042 + 25 = 1 067. Die 1 067 ist nicht durch 7 teilbar, weswegen auch 52 125 nicht durch 7 teilbar ist.

1 253 teilst du in 12 und 53. Dann führst du wieder die Berechnung wie eben durch: 2 • 12+ 53 = 24 + 53 = 77. 77 kannst du durch 7 teilen, daher ist die 7 auch ein Teiler von 1 253.

Teilbarkeit durch 8

Ob die 8 ein Teiler einer Zahl ist, kannst du daran feststellen, ob die Zahl aus den letzten drei Ziffern der Zahl ebenfalls durch 8 teilbar ist.

Beispiele:

5 921 endet auf 921, was nicht durch 8 teilbar ist. Du kannst also auch die 5 921 nicht durch 8 teilen.

17 800 endet auf 800, was du durch 8 teilen kannst. Die 8 ist also auch ein Teiler von 17 800.

Teilbarkeit durch 9

Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn auch ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Beispiele:

Die Quersumme von 12 421 ist 10. Du kannst die Zahl daher nicht ohne Rest durch 9 teilen.

10 521 ist durch 9 teilbar, weil du die Quersumme 18 durch 9 teilen kannst.

Teilbarkeit durch 10

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Diese Regel lässt sich übrigens für alle Zehnerpotenzen fortsetzen. Wenn eine Zahl mit zwei Nullen endet, ist sie durch 100 teilbar, wenn sie drei Nullen am Ende hat durch 1 000 und so weiter.

Beispiele:

12 587 endet auf 7 und ist deswegen nicht durch 10 teilbar.

178 530 endet auf 0. Die 10 ist daher ein Teiler von 178 530.

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