Den größten gemeinsamen Teiler berechnen (ggT)

Der größte gemeinsame Teiler ist genau wie das kleinste gemeinsame Vielfache wichtig, um mit Brüchen zu rechnen. Wir stellen dir hier vor, was der größte gemeinsame Teiler ist, wozu du ihn brauchst und wie du ihn berechnest.

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Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT)?

Was ein größter gemeinsamer Teiler ist, besagt eigentlich schon der Name. Wir rollen das Feld der Definition mal von hinten auf.

Teiler:

Als Teiler einer natürlichen Zahl bezeichnet man eine andere natürliche Zahl, durch die diese sich ohne Rest teilen lässt. 3 ist beispielsweise ein Teiler von 21, denn 21:3=7. Aber 4 ist kein Teiler von 21, denn die 21 lässt sich nicht ohne Rest durch 4 teilen.

gemeinsam:

Dass ein gemeinsamer Teiler gesucht wird, lässt darauf schließen, dass man mindestens zwei verschiedene Zahlen anschaut. Wir wollen also beispielsweise nicht nur wissen, was irgendein Teiler der 21 ist, sondern dieser Teiler soll gleichzeitig auch der Telier mindestens einer weiteren Zahl sein, zum Beispiel der 27.

größter:

Zwei Zahlen können einen oder mehrere gemeinsame Teiler haben. Die 1 ist beispielsweise Teiler aller natürlichen Zahlen. Gibt es keine weiteren gemeinsamen Zahlen, so ist sie der größte gemeinsame Teiler. Oft gibt es aber noch weitere gemeinsame Teiler. Gesucht ist dann derjenige, der am größten ist.

Wozu brauchst du den größten gemeinsamen Teiler?

Die wohl wichtigste Anwendung für den ggT ist das Bruchrechnen. Denn wenn du Brüche kürzen willst, musst du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner finden. Teilst du beide durch den ggT, kürzt du den Bruch automatisch so weit wie möglich, was sehr oft Bestandteil der Aufgaben ist – und die Brüche außerdem besser handhabbar macht.

So berechnest du den ggT

Methode 1: Berechnung durch Vergleich der Teiler

Die erste Methode, die du vor allem bei kleineren Zahlen gut anwenden kannst, besteht im Vergleichen der Teiler der beiden Zahlen. Dazu musst du sämtliche Teiler beider Zahlen ermitteln und aufschreiben und diese dann miteinander vergleichen. Den größten kannst du dann leicht erkennen. Um diese Methode anwenden zu können, solltest du die Teilbarkeitsregeln kennen. Auch das Einmaleins brauchst du hierzu.

Nehmen wir an, du sollst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen 32 und 80 berechnen. Wir schreiben jetzt zunächst die Teiler von 32 auf. Wir prüfen dazu alle möglichen Teiler ab und beginnen mit der 2. 2 ist ein Teiler von 32, weil 32 eine gerade Zahl ist. Damit wissen wir aber auch, dass 16 ein Teiler von 32 ist, denn 2•16=32. Alle übrigen Teiler (außer 1 und 32) liegen zwischen diesen beiden Zahlen.

Anhand der Teilbarkeitsregeln stellen wir fest, dass die 4 und 8 weitere Teiler sind. Also gilt:

Teiler von 32: {1, 2, 4, 8, 16, 32}

Für die 80 rechnen wir ebenso.

Teiler von 80: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}

Gemeinsame Teiler sind demnach 1, 2, 4, 8 und 16 und der größte gemeinsame Teiler ist 16.

Methode 2: Berechnung mit Hilfe der Primfaktorzerlegung

Wenn du schon das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen kannst, kennst du bereits die Primfaktorzerlegung. Mit dieser zerlegst du eine natürliche Zahl in einzelne Primzahlen, die du miteinander multiplizierst. Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, multiplizierst du alle gemeinsamen Primfaktoren und erhältst als Ergebnis den ggT. Als Hilfestellung findest du hier eine Übersicht über alle Primzahlen bis 10.000.

Für die beiden oberen Zahlen sieht die Primfaktorzerlegung wie folgt aus:

32 = 2•2•2•2•2
80 = 2•2•2•2•5

Gemeinsam ist also 2•2•2•2=16, womit wir das ggT ermittelt haben.

Methode 3: Berechnung aus dem kgV

Dass du das ggT und das kgV gemeinsam lernst, liegt auch daran, dass zwischen beiden ein Zusammenhang besteht. Das Produkt zweier Zahlen entspricht nämlich dem Produkt aus ggT und kgV dieser beiden Zahlen. Wenn du das kgV also bereits kennst, kannst du daraus das ggT leicht berechnen.

Nehmen wir an, du hättest das kgV von 32 und 80 bereits ermittelt. Es ist 160. Nun weißt du