Ob beim Einkauf oder beim Teilen der Torte in eine bestimmte Anzahl von Stücken, Bruchzahlen begegnen uns in vielen verschiedenen Zusammenhängen. Wenn du das Bruchrechnen beherrschst, kommst du daher nicht nur besser im Mathe-Unterricht zurecht. Es hilft dir auch, Zusammenhänge im Alltag leichter zu verstehen.
Was sind Bruchzahlen?
Immer dann, wenn eine natürliche Zahl, also 1, 2, 3, 4, 5 usw., ins Verhältnis zu einer anderen Zahl gesetzt und damit gebrochen ist, handelt es sich um eine Bruchzahl. Du kennst das aus ganz vielen Zusammenhängen in deinem täglichen Leben, zum Beispiel wenn du einen halben Liter Cola trinkst. Es gibt dabei grundsätzlich zwei Möglichkeiten, diese gebrochene Zahl auszudrücken:
- als Dezimalbruch: der halbe Liter als 0,5 l
- oder als gewöhnlicher Bruch
Beide Arten der Darstellung hängen miteinander zusammen. Der Bruchstrich symbolisiert eine Teilung, d.h.
bedeutet nichts anderes, als dass ich 1 durch 2 teile. Führe ich diese Rechenoperation aus, erhalte ich 0,5.
[quads id=1]Ein anderes Beispiel: Ich teile eine Pizza in vier Stücke, dann ist jedes Stück 1 : 4 = eine Viertel Pizza. Führe ich die Rechenoperation aus, bedeutet das: 1 / 4 = 0,25
So sind Bruchzahlen aufgebaut
Ein gewöhnlicher Bruch besteht aus der oberen Zahl, dem Zähler, dem Bruchstrich und der unteren Zahl, dem Nenner:
Zähler und Nenner können eine beliebige Zahl sein, wobei die Null eine Ausnahme bildet. Steht die 0 im Zähler, ist es völlig gleich, welche Zahl im Nenner steht, denn Null geteilt durch irgendetwas ergibt immer Null. Im Nenner darf die 0 dagegen überhaupt nicht stehen, denn je kleiner der Nenner ist, desto größer ist der Zahlenwert des Bruches.
Stände eine 0 im Nenner, wäre der Zahlenwert also unendlich groß, unabhängig vom Zähler, was bedeuten würde, dass unterschiedliche Zahlen gleichzusetzen wären:
Dies verstößt gegen grundlegende mathematische Regeln. Daher gilt die 0 im Nenner als nicht definiert, sprich: man kann nicht mit ihr rechnen.
Verschiedene Arten von Bruchzahlen
Bei einer gewöhnlichen Bruchzahl ist der Zähler immer niedriger als der Nenner:
D.h. der Zahlenwert liegt immer unter 1. Ist einmal Umgekehrtes der Fall, dann handelt es sich eigentlich um einen gemischten Bruch, der eine ganze Zahl beinhaltet:
Entsprechen Zähler und Nenner sich, handelt es sich eigentlich um eine ganze Zahl:
Bruchzahlen können auch negativ sein, was durchaus Sinn macht, wenn man sich folgendes Beispiel überlegt: Die Großmutter verspricht ihrem Enkel, seine Schulden zu halbieren. Wenn der Enkel 1 000 € Schulden hat und die gutmütige Oma greift ihm in dieser Weise unter die Arme, ist das folgendermaßen zu beschreiben:
Dem Enkel verbleiben also noch 500€ Schulden.
Steht im Nenner eine 1, handelt es sich um einen sog. Scheinbruch, da jede Zahl durch 1 geteilt grundsätzlich sich selbst zum Ergebnis hat:
Bruchrechnen
Alle vier Grundrechenarten (+, -, x, : ) sind auf Brüche anwendbar, wobei einige Regeln zu beachten sind. Wenn du diese beachtest, ist Bruchrechnen ganz einfach.
Zunächst einmal ist es notwendig zu wissen, was es heißt, wenn ein Bruch erweitert wird. Der Bruch
kann z. B. dadurch erweitert werden, dass man sowohl Nenner als auch Zähler mit der gleichen beliebigen Zahl multipliziert:
usw., das heißt, so lange das Verhältnis von Zähler und Nenner gleich bleibt, ändert sich am Wert des Bruchs nichts.
Das umgekehrte Vorgehen ist das Kürzen: Der Bruch 5/10 kann zu 1/2 gekürzt werden, da sowohl Zähler als auch Nenner durch 5 geteilt werden können.
Zu den einzelnen Rechenarten:
a) Die Addition (+): Hat man zwei Brüche mit dem gleichen Nenner, ist das Bruchrechnen kein Problem. Eine halbe Pizza und noch eine halbe Pizza sind eine ganze Pizza.
Schwieriger wird es, wenn die Nenner unterschiedlich groß sind: Eine halbe Pizza und eine viertel Pizza ergeben eine dreiviertel Pizza.
Um dieses Ergebnis zu erhalten, muss 1/2 zu 2/4 erweitert werden, damit beide Brüche wieder den gleichen Nenner haben, sodass sie miteinander verrechnet werden können.
[quads id=3]b) Die Subtraktion (-): Auch hier braucht es zwei gleich große Nenner, um die Verrechnung vornehmen zu können: Von der halben Pizza wird eine Viertelpizza weggegessen, eine Viertelpizza bleibt übrig-
c) Die Multiplikation (•): Hier geht es ganz einfach zu, denn Zähler wird mal Zähler genommen und Nenner mal Nenner:
Da sowohl 6 als auch 15 durch 3 teilbar sind, kann hier noch gekürzt werden:
d) Die Division (:): Wenn ich eine Pizza zu Vierteln teile, bekomme ich vier Stücke
Es ergibt sich also dasselbe Ergebnis, als wenn ich mit dem Kehrwert (Zähler und Nenner vertauscht) multipliziere:
Die Prozentrechnung
Die Prozentrechnung ist eine Variante der Bruchrechnung, da der Begriff nichts anderes bedeutet als “pro hundert”. Bekommt man also beim Kauf einen Nachlass von 20%, wird die Kaufsumme entsprechend gemindert:
