Logarithmen und Logarithmusgesetze

Yvonne Kraus


In diesem Artikel erklären wir dir, was ein Logarithmus ist und wie du ihn berechnen kannst.

Was ist der Logarithmus?

Zu jeder Rechenart gibt es in der Mathematik ein Gegenstück, die Umkehrrechnung, mit der man vom Ergebnis zurück zu den Ausgangswerten rechnen kann. Für die Addition ist dies die Subtraktion und für die Multiplikation die Division. Der Logarithmus ist ein Gegenstück zur Potenzrechnung. Mit dem Logarithmus kannst du dabei den Exponenten zu einer bestimmten Basis herausfinden, also die Zahl, mit der eine andere potenziert wurde. Da man bei der Umkehr der Potenzrechnung entweder den Exponenten oder die Basis herausfinden kann, gibt es noch eine weitere Umkehroperation zum Potenzieren, und zwar das Wurzelziehen.

Zum Beispiel gilt 32 = 9, weswegen log3 9 = 2. Dies spricht man „Logarithmus von 9 zur Basis 3“ aus. Allgemeiner formuliert werden Logarithmen wie folgt definiert:

xy = a → logx a = y (Logaritmus von a zur Basis x = y). a wird dabei als Numerus bezeichnet, x als Basis.

Wozu braucht man Logarithmen?

Logarithmen brauchst du vor allem, um Gleichungen zu lösen. Es gibt aber auch logarithmische Funktionen, die sich in der Natur wiederfinden, sodass der Logarithmus für die Naturwissenschaften eine große Rolle spielt. Weil der Logarithmus sehr aufwendig in der Berechnung ist, eignet er sich sehr gut, um Daten zu verschlüsseln.

Besondere Eigenschaften von Logarithmen

Ein paar Regeln im Umgang mit dem Logarithmus solltest du auswendig lernen, weil sie immer wieder vorkommen. Dies sind die wichtigsten:

  • loga a = 1, d.h. der Logarithmus einer Zahl a zur Basis a ist immer 1, denn nur a1 = a.
  • loga 1 = 0, d.h. der Logarithmus von 1 zu einer beliebigen Basis ist immer gleich 0, denn es gilt immer a0 = 1.
  • loga ab = b, d.h. der Logarithmus einer Zahl a zur Basis a potenziert mit einer Zahl b ist immer b, weil gilt (a)b = (ab).

Die wichtigsten Logarithmusgesetze

Wenn du mit Logarithmen in Gleichungen und Funktionen rechnest, musst du ein paar Logarithmusgesetze beachten. Diese setzt du bei Termumformungen ein und sie erleichtern dir so die verschiedenen Berechnungen. In der folgenden Übersicht findest du die verschiedenen Logarithmusgesetze.

Produktregel

Du kannst zwei Logarithmen zur selben Basis addieren, indem du den Numerus der beiden Logarithmen miteinander multiplizierst.

loga x + loga y = loga (x • y)

Quotientenregel

Umgekehrt kannst du zwei Logarithmen zur selben Basis voneinander subtrahieren, indem du die beiden Numeri durcheinander dividierst.

loga x + loga y = loga x/y

Potenzregel

Ist der Numerus des Logarithmus selbst potenziert, darfst du den Exponenten herauslösen und den gesamten Logarithmus damit multiplizieren.

loga xb = b • loga (x)

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}