Die Mitternachtsformel (bzw. ABC-Formel) ist eine Alternative zur pq-Formel, mit der du ebenfalls quadratische Gleichungen lösen kannst. Wir stellen dir hier alles Wissenswerte zu dieser Formel vor. A, B und C stehen dabei für die Koeffizienten in der Gleichung. Nur diese drei Werte – und natürlich die Formel – benötigst du, um die quadratische Gleichung zu lösen. Warum es Mitternachtsformel heißt, erfährst du weiter unten in den FAQ zum Thema.

So löst du quadratische Gleichungen mit der ABC-Formel

In diesem Video zeigen wir dir, wie du quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel löst. Am besten schaust du dir das Video zunächst an, um einen Überblick zu erhalten.

Das Wichtigste in Kürze
Wenn du eine quadratische Gleichung so umformst, dass auf der einen (rechten) Seite nur noch Null steht, hat sie die Form:

Aus a, b und c kannst du dann die Lösung(en) der Gleichung ausrechnen, indem du sie in die ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel einsetzt (beide Bezeichnungen werden für die Formel gleichermaßen verwendet).

Die ABC-Formel sieht folgendermaßen aus:

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Mehr als zwei Lösungen sind nicht möglich.

So wendest du die ABC-Formel an: ein Beispiel

Zum leichteren Verständnis wenden wir die Mitternachtsformel einmal auf die folgende quadratische Gleichung an.

Diese Gleichung müssen wir zunächst so umformen, dass auf einer Seite nur noch 0 steht. Dafür ziehen wir einfach auf beiden Seiten 11x ab und erhalten:

Aus der Gleichung kannst du nun ablesen, dass a = 3, b = 9 und c = -30 ist. Diese Werte setzt du nun nur noch in die Mitternachtsformel ein und rechnest die beiden Varianten aus.

Wichtig: Achte immer auf die Vorzeichen von a, b und c! Das vergisst man nämlich leicht, und dann liefert die Formel natürlich falsche (oder keine) Ergebnisse.

Durch Anwendung der pq-Formel kommst du natürlich auf dasselbe Ergebnis. In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du die ABC-Formel richtig anwenden kannst.

Die Mitternachtsformel erklärt

Wozu wird die Mitternachtsformel verwendet?

Mit der ABC-Formel kannst du quadratische Gleichungen lösen. Eine quadratische gleichung ist eine Gleichung mit normalerweise einer Variablen, die in höchster Potenz als Quadrat vorkommt, also zum Beispiel:

Du siehst, quadratische Gleichungen können unterschiedliche Formen haben. Die oberste Form nennt sich Normalform. Dabei steht rechts vom Gleichheitszeichen eine Null, und der Faktor von x² ist gleich 1. Diese Normalform brauchst du, wenn du die pq-Formel zur Lösung der Gleichung anwenden willst. Für die ABC-Formel brauchst du sie nicht, sondern es reicht, wenn du die Gleichung so umformst, dass 0 auf einer Seite steht.

Wie sieht die ABC-Formel aus?

Um die ABC-Formel anwenden zu können, muss deine Gleichung folgende Form haben:

Jetzt erkennst du auch direkt, woher der Name kommt, denn a, b und c aus der Gleichung verwenden wir, um sie in die Mitternachtsformel einzusetzen. Diese lautet:

Hier setzt du nun a, b und c ein. Du rechnest den Weg einmal mit + und einmal mit – durch und erhältst so beide möglichen Ergebnisse für die quadratische Gleichung.

So wendest du die ABC-Formel an

Die ABC-Formel wendest du in zwei einfachen Schrittenan. Im ersten Schritt formst du die quadratische Gleichung so um, dass alle Elemente auf der linken Seite stehen. Dies geht ganz einfach, indem du die Elemente, die auf der rechten Seite stehen, von beiden Seiten der Gleichung abziehst, also zum Beispiel:

Im zweiten Schritt identifizierst du a, b und c und setzt diese Werte in die Mitternachtsformel ein. Denke immer daran, auch das Vorzeichen von a, b und c richtig aufzuschreiben. Im Beispiel sind dies:

Nun kannst du die Werte ganz einfach in die ABC-Formel einsetzen und erhältst:

3 Beispielaufgaben mit Lösungen zur ABC-Formel

Aufgabe 1:
4x² – 6x + 9 = 2x² + 9

Schritt 1: Umformung → Alle Elemente auf die linke Seite bringen

Schritt 2: Anwendung der Formel

Du hast nun die quadratische Gleichung so weit umgeformt, dass du die ABC-Formel anwenden kannst. Dazu musst du natürlich a, b und c zunächst bestimmen und anschließend in die Formel einsetzen.

Damit hast du die Aufgabe gelöst und die beiden möglichen Lösungen gefunden. Du kannst die Probe machen, indem du sie in die Gleichung einsetzt. Wie auch bei der pq-Formel gilt: Ist der Wert unter der Wurzel kleiner als 0, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Ist er gleich 0, so gibt es nur eine Lösung.

Aufgabe 2:
2x² + 2x = 24

Schritt 1: Umformung

Schritt 2: Anwendung der Formel

Aufgabe 3:
8x² + 1 = 6x

Schritt 1: Umformung

Schritt 2: Anwendung der Formel

In unseren Arbeitsheften findest du weitere Aufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen zum Üben und Vertiefen.

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So kannst du dir die ABC-Formel merken

Die ABC-Formel oder Mitternachtsformel ist so wichtig, dass du sie auswendiglernen musst. Daran führt kein Weg vorbei. Am besten merkst du dir die einzelnen Elemente Stück für Stück.

1. Es gibt bis zu zwei Lösungen:

2. Die ABC-Formel ist ein Bruch:

3. Da du zwei verschiedene Lösungen hast, steht im Zähler ein Plusminus-Zeichen:

4. In der Lösung zu einer quadratischen Gleichung darf ein Wurzelzeichen nicht fehlen. Dies addierst du einmal und du ziehst es einmal ab, daher steht es an zweiter Stelle im Zähler.

5. Nun musst du noch a, b und c in der Formel verteilen. Du beginnst mit b (denn „beginnen“ fängt mit b an), und zwar beide Teile des Zählers. Allerdings musst du beide leicht variieren, denn vor das erste b setzt du ein Minuszeichen und das zweite nimmst du zum Quadrat.

6. Ebenfalls abgezogen wird das, und zwar innerhalb der Wurzel.

7. Nun musst du nur noch das a an die richtigen Stellen setzen, und zwar zwei Stück davon. Deswegen schreibst du auch gleich „2a“ in den Nenner. Im Nenner multiplizierst du das a mit dem c. Außerdem multiplizierst du diesen Ausdruck noch mit 4, denn insgesamt hast du vier Elemente in der Formel.

Am besten lernst du die ABC-Formel natürlich durch Anwenden, daher solltest du üben, üben, üben!

Die wichtigsten Fragen zur ABC-Formel / Mitternachtsformel beantwortet

Im Folgenden haben wir für dich die wichtigsten Fragen zur ABC-Formel zusammengestellt – natürlich mit den entsprechenden Antworten! Dir fehlt noch etwas? Dann schreibe uns eine E-Mail an fragen@nachgeholfen.de oder hinterlasse uns einen Kommentar.

Wozu braucht man die ABC-Formel?

Mit der ABC-Formel kannst du quadratische Gleichungen lösen. Das sind alle Gleichungen, in denen die 2 der höchste Exponent von x ist. Du kannst die Mitternachtsformel außerdem immer dann einsetzen, wenn du auch die pq-Formel einsetzen kannst.

Ist die ABC-Formel das gleiche wie die Mitternachtsformel?

Ja. Die beiden Begriffe werden für dieselbe Formel verwendet.

Ist die ABC-Formel das gleiche wie die pq-Formel?

Nein. Beide Formel helfen dir dabei, quadratische Gleichungen zu lösen. Sie liefern dieselben Lösungen (das müssen sie natürlich, sonst würden sie nicht richtig funktionieren), sehen jedoch leicht unterschiedlich aus.

Wann ist die ABC-Formel / Mitternachtsformel sinnvoll und wann die pq-Formel?

Du solltest zunächst einmal die Formel anwenden können, die ihr gerade in der Schule behandelt. Schließlich sollst du bei den Hausaufgaben und in der Klassenarbeit zeigen, dass du anwenden kannst, was ihr gelernt habt.

Wenn du die freie Wahl hast, nimm die Formel, mit der du dich sicherer fühlst. Meist ist das die Formel, die du zuerst in der Schule gelernt hast, weil diese sich besser eingeprägt hat. Wenn du jedoch mit einer der beiden Formel häufiger Schwierigkeiten hast, solltest du die andere nehmen.

Grundsätzlich gilt, dass einige Schüler*innen die pq-Formel etwas einfacher finden, weil es eben nur zwei verschiedene Elemente gibt, die man sich merken muss. Die Formel wirkt daher ein wenig leichter. Allerdings musst du für die Anwendung der pq-Formel die quadratische Gleichung in die Normalform bringen, das heißt, du musst sie durch den Koeffizienten von x² teilen. Hier hast du also einen Rechenschritt in der Vorbereitung mehr.

Hängen die Mitternachtsformel und die pq-Formel zusammen?

Ja. Da beide dasselbe tun, kann man die eine Formel aus der anderen ableiten. Wie dies geht, findest du in unserem Artikel zur pq-Formel.

Wann bekomme ich zwei Ergebnisse mit der ABC-Formel, wann eins ?

Eine quadratische Gleichung kann bis zu zwei Lösungen haben. Dies liegt daran, dass das Quadrat einer Zahl und ihres negativen Gegenwerts immer dasselbe Ergebnis haben. Daher kann man in eine quadratische Gleichung normalerweise zwei verschiedene Werte einsetzen und sie lösen.

Wenn der Wert unterhalb der Wurzel in der ABC-Formel jedoch gleich 0 ist, dann hat die Gleichung nur eine Lösung. Ist der Wert unter der Wurzel kleiner als 0, so gibt es keine Lösung - denn die Wurzel einer negativen Zahl kannst du nicht ziehen.

Die ABC-Formel funktioniert nicht - und jetzt?

Die ABC-Formel funktioniert, keine Sorge. Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, kannst du jedoch nicht weiterrechnen. In diesem Fall prüfst du am besten, ob du wirklich alles richtig ausgerechnet hast. Meistens sind die Aufgaben, die du für die Schule lösen sollst, nämlich so aufgebaut, dass es eine Lösung gibt.

Kann ich auch Ungleichungen mit der ABC-Formel lösen?

Klar, das kannst du. Da du normalerweise die Gleichung auch nicht multiplizieren oder divideren musst, um sie umzuformen, ist es sogar einfacher als mit der pq-Formel.

Wie löst man Gleichungen 3. Grades (x³) mit der Mitternachtsformel?

Du kannst du Gleichungen zweiten Grades mit der ABC-Formel lösen. Wenn du eine Gleichung 3. Grades hast, hat diese bis zu drei Lösungen. Wenn du eine davon kennst, kannst du die Gleichung durch den Term (x – Lösung) teilen. Das funktioniert mit Hilfe der Polynomdivision. Als Ergebnis erhältst du eine quadratische Gleichung, die du wiederum mit der ABC-Formel lösen kannst. Das ist etwas umständlich, aber funktioniert.

Spoiler-Titel

„Und was hat das jetzt mit Mitternacht zu tun?“, fragst du dich jetzt vielleicht. Nicht wirklich viel. Viele Lehrer und Lehrerinnen fanden diese Formel so wichtig, dass sie ihren Klassen immer wieder gesagt haben, dass sie die Formel auch dann auswendig hersagen können müssen, wenn sie um Mitternacht geweckt werden. Obwohl man diesen Satz in der Schule häufiger zu allen möglichen Themen hört, ist der Name Mitternachtsformel bei dieser Sache irgendwann hängengeblieben.

Zusammenfassung

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