Gleichungen umformen musst du immer dann, wenn du Gleichungen lösen musst – egal welcher Art. Keine Sorge, das ist ganz einfach. Wir zeigen dir hier, wie’s geht.

Was du über Gleichungen wissen solltest

Zunächst einmal ist eine Gleichung durch das Gleichheitszeichen definiert. Dieses Zeichen setzt zwei unterschiedliche mathematische Ausdrücke gleich. 4 + 2 = 6 ist eine Gleichung. Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen steht – mathematisch betrachtet – das gleiche, nur unterschiedlich formuliert.

Wenn du Gleichungen umformen sollst, hast du es jedoch in der Regel mit Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten (Variablen) zu tun, zum Beispiel 4 + x = 6. Das x steht für alle möglichen verschiedenen Werte. Allerdings gibt es immer nur eine begrenzte Anzahl an x, für die die Gleichung wahr ist. Für x = 1 stimmt sie zum Beispiel nicht, denn 4 + 1 = 5 (und nicht 6). Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, welchen Wert x annehmen muss, damit die Gleichung wahr ist. Und die Methode, die du dazu anwendest, ist das Umformen der Gleichung.

Wie du Gleichungen umformen kannst

Du kannst mit jeder Gleichung Rechenoperationen durchführen, ohne dass du die Tatsache veränderst, dass es sich hierbei um eine Gleichung handelt. Dazu musst du nur auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen dieselbe Rechenoperation durchführen. Nehmen wir zunächst das Beispiel ohne Variable:

4 + 2 = 6

Du könntest zum Beispiel auf jeder Seite 10 hinzuaddieren. Dadurch verändern sich zwar die einzelnen Werte, aber beide Seiten bleiben weiterhin gleich – es handelt sich also immer noch um eine Gleichung, was wichtig ist. Die Umformung einer Gleichung kündigt man immer mit einem senkrechten Strich hinter der Gleichung an. Hinter den Schritt schreibst du dann die Operation, die du vornimmst, also zum Beispiel:

4 + 2 = 6 | +10
\Leftrightarrow 4 + 2 + 10 = 6 + 10

Der Doppelpfeil heißt, dass die Gleichung nur durch normale Operationen umgeformt wurde und immer noch äquivalent (gleichwertig) zum vorigen Schritt ist. Gelesen wird der Pfeil als „ist äquivalent mit“.

Natürlich formst du Gleichungen nicht einfach aus Spaß irgendwie um, sondern du verfolgst damit ein Ziel. Und damit sind wir wieder bei den Gleichungen mit Variablen. Die meisten Umformungen machst du nämlich, um herauszufinden, welchen Wert die Variable haben muss, damit sie erfüllt ist.

Nehmen wir das andere Beispiel:

4 + x = 6

Wir wollen nun herausfinden, welchen Wert x annehmen muss (obwohl wir das ja eigentlich schon wissen). Daher formen wir die Gleichung so um, dass x alleine auf der einen Seite steht und alles andere auf der anderen Seite. Dann wissen wir den Wert für x. Dazu schauen wir uns an, was sich mit x auf einer Seite befindet, und machen dann eine Umkehroperation dazu. Positive Zahlen werden subtrahiert, negative addiert. Hat x einen Faktor, so teilen wir durch diesen. Ist x der Zähler eines Bruchs, so multiplizieren wir mit dem Nenner.

Hier ist nur eine positive Konstante – 4 – auf derselben Seite wie x. Die Umkehroperation dazu lautet: – 4. Die Umformung in ganz detaillierten Schritten sieht also folgendermaßen aus:

4 + x = 6 | - 4
\Leftrightarrow 4 + x - 4 = 6 - 4
\Leftrightarrow x = 2

Beispiele für das Umformen von Gleichungen

Im Folgenden findest du Beispiele für alle möglichen Umkehroperationen, damit du diese leicht erkennen kannst.

Beispiel 1: Addition und Division

2x - 10 = 18 | + 10
\Leftrightarrow 2x - 10 + 10 = 18 + 10
\Leftrightarrow 2x = 28 | : 2
\Leftrightarrow \frac {2x}{2} = \frac {28}{2}
\Leftrightarrow x = 14

So detailliert musst du das normalerweise gar nicht aufschreiben, sondern es reicht, wenn deine Schritte nachvollziehbar sind – wie im Folgenden:

2x - 10 = 18 | + 10
\Leftrightarrow 2x = 28 | : 2
\Leftrightarrow x = 14

Beispiel 2: Subtraktion und Multiplikation

-\frac{x}{4} + 12 = -\frac {3x}{4} | - 12
-\frac{x}{4} = -\frac {3x}{4} -12 | + \frac {3x}{4}
\Leftrightarrow {x}{2} = -12 | \cdot 2
\Leftrightarrow x = -6

Du siehst, du kannst Operationen nicht nur mit Konstanten, sondern auch mit Variablen durchführen.

Damit bist du bestens gerüstet, um Gleichungen umzuformen. Es ist wichtig, dass du dieses Thema gut verinnerlichst, denn es wird dir während deiner Schulzeit immer wieder begegnen.

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Autor(in)

Alle Artikel von Yvonne Kraus Hier schreibt Yvonne Kraus, die Gründerin von nachgeholfen.de.

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