Kurvendiskussion

Yvonne Kraus


Unter Kurvendiskussion versteht man die Analyse von Funktionen hinsichtlich bestimmter Merkmale. Eine Funktion bezeichnet eine Abbildung, in der jedem x genau ein y bzw. ein f(x) zugeordnet ist. Dadurch kann man Funktionen in einem Koordinatensystem zeichnen. Allerdings ist es bei komplexeren Funktionen sehr aufwendig, jeden einzelnen Punkt auszurechnen, um ihn richtig in das Koordinatensystem eintragen zu können. Aus diesem Grund bedient man sich der Mittel der Kurvendiskussion, um bestimmte markante Punkte der Funktion zu bestimmen. Verbindest du diese markanten Punkte, so kannst du die Funktion zumindest näherungsweise zeichnen.

Bestandteile der Kurvendiskussion

Wie gesagt dient die Kurvendiskussion dazu, dass du dir ein ungefähres Bild der Lage einer Funktion machen kannst, um diese gegebenenfalls am Ende sogar zeichnen zu können. Daher haben alle besonderen Punkte, die du herausfinden sollst, etwas mit der Lage oder dem Verhalten der gezeichneten Funktion zu tun. Im Folgenden findest du die wichtigsten Punkte, die du im Rahmen einer Kurvendiskussion prüfen solltest.

Grenzverhalten

Das Grenzverhalten einer Funktion sagt, wohin die Werte für y streben, wenn x gegen unendlich strebt – und zwar im positiven und im negativen Grenzbereich. Die Funktion f(x) = x2 strebt zum Beispiel für ±∞ gegen unendlich. Wenn du dies weißt, hast du schon eine erste Vorstellung der Funktion, nämlich, dass sie immer größer wird, je kleiner und größer deine x-Werte werden.

Nullstellen = Schnittpunkte mit der x-Achse

Nicht jede Funktion schneidet die x-Achse, aber du solltest deine Funktion in jedem Fall auf Nullstellen untersuchen. Dies kannst du, indem du eine Gleichung für die Nullstellen aufstellst, also f(x) = 0, und nach x auflöst. Für f(x) = x2 gibt es zum Beispiel nur eine Nullstelle, die bei (0,0) liegt.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Ebenfalls ein besonderer Punkt ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse. Dieser kommt in jedem Fall vor, und es gibt genau einen Punkt, auf den dies zutrifft. Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu finden, setzt du für x einfach die 0 in deine Funktion ein. In unserem Beispiel liegt er ebenfalls bei (0,0).

Extremwerte

Extremwerte einer Funktion sind Hoch- und Tiefpunkte bzw. Höchst- und Tiefstpunkte (Maxima und Minima). An diesen Stellen ändert die Funktion ihre Richtung. Für f(x) = x2 ist dies ebenfalls der Nullpunkt, an dem die Funktion ein lokales und absolutes Minimum hat. Extremwerte und Wendepunkte bestimmst du anhand der Ableitungen der Funktion.

Wendepunkte

An einem Wendepunkt ändert die Funktion ihre Krümmung, das heißt, eine rechts geneigte Funktion wird zu einer links geneigten und umgekehrt. Auch die Wendepuntke ermittelt man mit Hilfe der Ableitungen der Funktion.

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