Ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion ist das Berechnen von Ableitungen. Eine Ableitung gibt dir eine Information darüber, wie sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle verhält, also beispielsweise ob sich dort ein Scheitelpunkt der Funktion befindet oder ob die Funktion dort einen Wendepunkt hat. Normalerweise untersuchst du die Ableitung einer Funktion nicht nur an einer Stelle, sondern – im Hinblick auf bestimmte konkrete Fragestellungen – für die gesamte Funktion. Dazu errechnest du eine sogenannte Ableitungsfunktion, die mit f'(x) bezeichnet wird und für jedes x im Definitionsbereich der Funktion angibt, welchen Wert die Ableitung an der Stelle annimmt.
Du kannst auch die Ableitung einer Ableitung bilden. Dann spricht man von der 2. Ableitung, die mit f”(x) (ausgesprochen: f-zwei-Strich von x) bezeichnet wird. Die Ableitungen höherer Ordnung haben unterschiedliche Aussagekraft, auf die wir weiter unten im Artikel eingehen.
Wie du Ableitungen einer Funktion bildest
Die Ableitung einer Funktion errechnet sich ganz einfach. Du multiplizierst jeden Faktor vor der Variable x (bei jedem einzelnen Vorkommen) mit der Potenz von x und reduzierst anschließend die Potenz für jedes Vorkommen der Variable x um 1. Für x1, was ja einfach x entspricht, fällt die Variable dann weg. Das freie Glied einer Funktion ohne Variable fällt ebenfalls weg. Im folgenden ein paar Beispiele:
[quads id=1]Beispiel 1:
f(x) = x2 + 2x -3
f'(x) = 2x +2
f”(X) = 2
Beispiel 2:
f(x) = x3 – 5x2 + 10x + 2
f'(x) = 3x2 – 10x + 10
f”(X) = 6x – 10
Sämtliche Ableitungsregeln findest du hier.
Was sagt eine Ableitung über die Funktion aus?
Die 1. Ableitung einer Funktion
Die Nullstellen der 1. Ableitung einer Funktion sagen dir, wo die Extremwerte der Funktion liegen. Um Minima und Maxima herauszufinden, musst du also herausfinden, an welchen Stellen die 1. Ableitung den Wert 0 annimmt. Dies kannst du durch Auflösen der entsprechenden Gleichung.
Die 2. Ableitung einer Funktion
Die 2. Ableitung einer Funktion gibt dir zwei Informationen: Zum einen sagt dir das Vorzeichen der 2. Ableitung für den Extremwert, ob es sich dabei um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Ist der Wert der 2. Ableitung für einen Extremwert positiv, so handelt es sich um ein lokales oder absolutes Maximum, ist er negativ, so handelt es sich um ein Minimum.
Die Nullstellen der 2. Ableitung geben dir außerdem an, wo die Wendepunkte deiner Funktion liegen.
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