Wenn du dich mit Funktionen und Kurvendiskussion beschäftigst, wirst du schnell damit beginnen, Ableitungen von Funktionen zu bilden. Damit dir dies leichter fällt, haben wir die wichtigsten Ableitungsregeln für dich in diesem Artikel zusammengestellt.
Was sind Ableitungsregeln?
Eine Ableitung ist eine Funktion, die für eine andere Funktion die Steigung in jedem einzelnen Punkt wiedergibt. Mit dieser Informationen kannst du vieles über den Verlauf einer Funktion herausfinden, ohne sie aufzeichnen zu müssen. Ableitungsregeln helfen dir dabei, die Ableitungsfunktionen zu bilden. Denn Ableitungen werden immer nach demselben Muster gebildet. Wenn du diese Regeln also beherrschst, fällt es dir sehr leicht, mit Funktionen und deren Ableitungen zu arbeiten.
[quads id=1]Die Faktorregel / Potenzregel
Die erste und wichtigste Ableitungsregel hat gleich zwei Namen, denn Potenzen und Faktoren haben in Ableitungen sehr viel miteinander zu tun.
Formal aufgeschrieben lautet die Faktorregel:
Wenn du also die Ableitung einer Funktion der Form m•xn bilden willst, multiplizierst du den Faktor von x mit der Potenz und erhältst so den Faktor in der Ableitung. Die Potenz selbst verringerst du dann um 1.
Beispiele
f(x) = 2x4 ⇒ f'(x) = 8x3
g(x) = 5x2 ⇒ f'(x) = 10x
Sonderformen der Faktorregel / Potenzregel
Die Faktorregel erklärt auch, wie die Ableitung von x (ohne Faktor) und von einer Konstanten gebildet wird. Die Ableitung von x ist immer gleich 1. Dies entspricht der Faktorregel, denn
f(x) = x1 ⇒ f'(x) = 1•x0= 1
Die Ableitung einer Konstanten ist immer gleich 0. Auch dies lässt sich durch die Faktorregel herleiten, wenn du x0 für 1 einsetzt. Dann gilt:
f(x) = m = mx0 ⇒ f'(x) = 0•m•x-1= 0
[quads id=2]Die Summenregel
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion, die aus mehreren Summanden besteht, gleich ist mit der Summe der einzelnen Ableitungen dieser Summanden.
Beispiele
f(x) = 2x4 + 9x3 ⇒ f'(x) = 8x3 + 18x2
g(x) = 5x2 + 4x ⇒ f'(x) = 10x + 4
Die Differenzregel
Die Differenzregel funktioniert genauso wie die Summenregel, nur eben mit einem Minuszeichen.
Beispiele
f(x) = 2x4 – 9x3 ⇒ f'(x) = 8x3 – 18x2
g(x) = 5x2 – 4x ⇒ f'(x) = 10x – 4
[quads id=3]Die Produktregel
Die Produktregel kannst du nutzen, wenn deine Funktion ein Produkt aus mehreren Faktoren, in denen x vorkommt, ist. Da du dieses Produkt oft nicht einfach ausrechnen kannst, ist es leichter, die einzelnen Ableitungen zu bilden. Die Ableitung für die Gesamtfunktion bildest du dann, indem du die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion und die Ableitung der zweiten mit der ersten Funktion multiplizierst und diese beiden Ergebnisse dann miteinander addierst. Am besten merkst du dir die Formel hierzu wie eine binomische Formel und lernst sie auswendig.
Beispiele
f(x) = 2x4 • 9x3 ⇒ f'(x) = 8x3 • 9x3 + 2x4 • 18x2
g(x) = 5x2 • 4x ⇒ f'(x) = 10x • 4x + 5x2 • 4
Die Quotientenregel
Die Quotientenregel wirkt tatsächlich noch ein wenig komplizierter als die Produktregel. Du wendest sie an, wenn deine Funktion ein Quotient (also im Normalfall ein Bruch) aus zwei Funktionen mit x ist. Die Ableitung kannst du dann ganz ähnlich wie bei der Produktregel bilden, und zwar nach der folgenden Formel:
Beispiel
Die Kettenregel
Die Kettenregel kommt immer dann zum Einsatz, wenn du eine Funktion hast, die sich auf eine andere Funktion bezieht. Dann kannst du zuerst die Ableitung der “inneren” Funktion berechnen und anschließend die der äußeren. Formal sieht das dann so aus:
Beispiel
f(x) = (2x4 – 9x3)2⇒ f'(x) = g'(8x3 – 18x2)= 2(8x3 – 18x2)
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