Binomische Formeln

Yvonne Kraus


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Binomische Formeln helfen dir dabei, sogenannte Binome zu berechnen. Ein Binom ist ein Polynom mit zwei Gliedern. Da jedes Polynom wie folgt aufgebaut ist a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, n ≥ 0, kann man ein Binom als an + bm schreiben.

Für bestimmte Binome kann man über die verschiedenen Rechengesetze Umformulierungen vornehmen, die das Rechnen erleichtern. Dies sind die binomischen Formeln. Damit du sie anwenden kannst, musst du sie auswendig kennen. Da es nur drei binomische Formeln gibt, geht das relativ einfach. Wenn du sie einmal kennst, kannst du sie auf die verschiedensten Gleichungen anwenden.

Die drei binomischen Formeln

Erste binomische Formel

Die erste binomische Formel lautet (a + b)2 = a2 + 2 • a • b + b2.

Herleitung erste binomische Formel

Die erste binomische Formel kann man sehr gut geometrisch herleiten. Im unten stehenden Quadrat erkennst du, wie die Flächen berechnet werden. Du kennst die Strecke a und die Strecke b und hast somit zwei Möglichkeiten, die Fläche A des Quadrats zu berechnen.

Variante 1: A = (a + b)2

Erste binomische Formel
Erste binomische Formel

Variante 2: A = a2 + 2 • a • b + b2

Es ist aber auch möglich, die Herleitung durch Ausmultiplizieren zu führen.

(a + b)2 = (a + b) • (a + b)
= a • a + a • b + b • a + b • b
= a2 + 2 • a • b + b2

Anwendungsbeispiel erste binomische Formel

Eine typische Aufgabe für die Anwendung der ersten binomischen Formel ist die Vereinfachung der Berechnung von Quadratzahlen, die du dann sogar leicht im Kopf ausrechnen kannst.

1092 = (100 + 9)2 = 1002 + 2 • 100 • 9 + 92
= 10.000 + 1.800 + 81
= 11.881

Zweite binomische Formel

Wenn du dir die erste binomische Formel schon gemerkt hast, kannst du die zweite ganz einfach lernen, denn in beiden Teilen wird jeweils ein + durch ein – ersetzt.

Die zweite binomische Formel lautet nämlich (a – b)2 = a2 – 2 • a • b + b2.

Herleitung zweite binomische Formel

Die zweite binomische Formel kann man ebenfalls sehr gut mit Hilfe eines Quadrats veranschaulichen. a ist hier jedoch die komplette Seitenlänge des Quadrats. Daher muss man, um die Fläche des kleinen blauen Quadrats zu berechnen, die beiden orangenen Rechtecke abziehen und dann das dunkelblaue wieder addieren, weil man es vorher doppelt abgezogen hat.

Zweite binomische Formel
Zweite binomische Formel

Ausmultipliziert sieht das Ganze dann wie folgt aus.

(a – b)2 = (a – b) • (a – b)
= a • a – a\cdot b – b • a + b • b
= a2 – 2 • a • b + b2

Anwendungsbeispiel zweite binomische Formel

Wie die erste binomische Formel kann man auch die zweite nutzen, um sich das Rechnen zu vereinfachen.

9992 = (1.000 – 1)2
= 1.0002 – 2 • 1.000 • 1 + 12
= 1.000.000 – 2.000 + 1 = 9.998.001

Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel unterscheidet sich ein wenig von den ersten beiden, weil sie anders aufgebaut ist. Sie ist aber ebenso leicht zu merken und herzuleiten. Sie lautet (a + b) • (a – b) = a2 – b2.

Herleitung dritte binomische Formel

Rechnerisch lässt sich die dritte binomische Formel wie folgt herleiten.

(a + b) • (a – b)
= a • a + a • b – b • a – b • b
= a2 – b2

Anwendungsbeispiel dritte binomische Formel

Die folgende Berechnung lässt sich einfacher mit der dritten binomischen Formel durchführen.

207 • 193 = (200 + 7) • (200 – 7)
= 2002 – 72 = 40.000 – 49 = 39.951

Die wichtigsten Fragen zu binomischen Formeln

Wie viele binomische Formeln gibt es?

Es giibt drei binomische Formeln, die alle in diesem Artikel vorgestellt werden.

Wer ist der Erfinder der binomischen Formeln?

Der Erfinder oder Entdecker der binomischen Formeln ist nicht mehr zu bestimmen. Manche Wissenschaftler haben sich einen Witz daraus gemacht, die Figur des Alessandro Binomi bzw. Francesco Binomi erfunden und ihm die Entdeckung der binomischen Formeln zugeschrieben. Wie oben erläutert leitet sich die Bezeichnung aber gar nicht vom Namen einer Person, sondern vom Binom ab. Die Bezeichnung „Binom“ geht auf den Mathematiker Euklid zurück.

Wie erkenne ich binomische Formeln?

Binomische Formeln bestehen immer aus Produkten und Summen. Wenn du also Terme siehst, die entsprechend zusammengesetzt sind, musst du prüfen, ob es sich bei den einzelnen Gliedern um Quadrate handelt. Falls ja, kannst du den ganzen Term möglicherweise in eine binomische Formel überführen.

Wo finde ich Übungen für binomische Formeln?

Ein paar Übungen findest du in diesem Artikel. Wenn du dich intensiv mit den binomischen Formeln auseinandersetzen möchtest, kannst du hier unser Arbeitsheft Binomische Formeln herunterladen, in dem du eine noch ausführlichere Erklärung und 150 Übungen mit Lösungen zu binomischen Formeln findest.

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