Die Mitternachtsformel (bzw. ABC-Formel) ist eine Alternative zur pq-Formel, mit der du ebenfalls quadratische Gleichungen lösen kannst. Wir stellen dir hier alles Wissenswerte zu dieser Formel vor. A, B und C stehen dabei für die Koeffizienten in der Gleichung. Nur diese drei Werte – und natürlich die Formel – benötigst du, um die quadratische Gleichung zu lösen. Warum es Mitternachtsformel heißt, erfährst du weiter unten in den FAQ zum Thema.
So löst du quadratische Gleichungen mit der ABC-Formel
In diesem Video zeigen wir dir, wie du quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel löst. Am besten schaust du dir das Video zunächst an, um einen Überblick zu erhalten.
Aus a, b und c kannst du dann die Lösung(en) der Gleichung ausrechnen, indem du sie in die ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel einsetzt (beide Bezeichnungen werden für die Formel gleichermaßen verwendet).
Die ABC-Formel sieht folgendermaßen aus:
Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Mehr als zwei Lösungen sind nicht möglich.
So wendest du die ABC-Formel an: ein Beispiel
Zum leichteren Verständnis wenden wir die Mitternachtsformel einmal auf die folgende quadratische Gleichung an.
Diese Gleichung müssen wir zunächst so umformen, dass auf einer Seite nur noch 0 steht. Dafür ziehen wir einfach auf beiden Seiten 11x ab und erhalten:
Aus der Gleichung kannst du nun ablesen, dass a = 3, b = 9 und c = -30 ist. Diese Werte setzt du nun nur noch in die Mitternachtsformel ein und rechnest die beiden Varianten aus.
Wichtig: Achte immer auf die Vorzeichen von a, b und c! Das vergisst man nämlich leicht, und dann liefert die Formel natürlich falsche (oder keine) Ergebnisse.
Durch Anwendung der pq-Formel kommst du natürlich auf dasselbe Ergebnis. In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du die ABC-Formel richtig anwenden kannst.
[quads id=1]Die Mitternachtsformel erklärt
Wozu wird die Mitternachtsformel verwendet?
Mit der ABC-Formel kannst du quadratische Gleichungen lösen. Eine quadratische gleichung ist eine Gleichung mit normalerweise einer Variablen, die in höchster Potenz als Quadrat vorkommt, also zum Beispiel:
Du siehst, quadratische Gleichungen können unterschiedliche Formen haben. Die oberste Form nennt sich Normalform. Dabei steht rechts vom Gleichheitszeichen eine Null, und der Faktor von x² ist gleich 1. Diese Normalform brauchst du, wenn du die pq-Formel zur Lösung der Gleichung anwenden willst. Für die ABC-Formel brauchst du sie nicht, sondern es reicht, wenn du die Gleichung so umformst, dass 0 auf einer Seite steht.
Wie sieht die ABC-Formel aus?
Um die ABC-Formel anwenden zu können, muss deine Gleichung folgende Form haben:
Jetzt erkennst du auch direkt, woher der Name kommt, denn a, b und c aus der Gleichung verwenden wir, um sie in die Mitternachtsformel einzusetzen. Diese lautet:
Hier setzt du nun a, b und c ein. Du rechnest den Weg einmal mit + und einmal mit – durch und erhältst so beide möglichen Ergebnisse für die quadratische Gleichung.
[quads id=2]So wendest du die ABC-Formel an
Die ABC-Formel wendest du in zwei einfachen Schrittenan. Im ersten Schritt formst du die quadratische Gleichung so um, dass alle Elemente auf der linken Seite stehen. Dies geht ganz einfach, indem du die Elemente, die auf der rechten Seite stehen, von beiden Seiten der Gleichung abziehst, also zum Beispiel:
Im zweiten Schritt identifizierst du a, b und c und setzt diese Werte in die Mitternachtsformel ein. Denke immer daran, auch das Vorzeichen von a, b und c richtig aufzuschreiben. Im Beispiel sind dies:
Nun kannst du die Werte ganz einfach in die ABC-Formel einsetzen und erhältst:
3 Beispielaufgaben mit Lösungen zur ABC-Formel
Schritt 1: Umformung → Alle Elemente auf die linke Seite bringen
[quads id=3]Schritt 2: Anwendung der Formel
Du hast nun die quadratische Gleichung so weit umgeformt, dass du die ABC-Formel anwenden kannst. Dazu musst du natürlich a, b und c zunächst bestimmen und anschließend in die Formel einsetzen.
Damit hast du die Aufgabe gelöst und die beiden möglichen Lösungen gefunden. Du kannst die Probe machen, indem du sie in die Gleichung einsetzt. Wie auch bei der pq-Formel gilt: Ist der Wert unter der Wurzel kleiner als 0, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Ist er gleich 0, so gibt es nur eine Lösung.
Schritt 1: Umformung
Schritt 2: Anwendung der Formel
Schritt 1: Umformung
Schritt 2: Anwendung der Formel
In unseren Arbeitsheften findest du weitere Aufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen zum Üben und Vertiefen.
So kannst du dir die ABC-Formel merken
Die ABC-Formel oder Mitternachtsformel ist so wichtig, dass du sie auswendiglernen musst. Daran führt kein Weg vorbei. Am besten merkst du dir die einzelnen Elemente Stück für Stück.
1. Es gibt bis zu zwei Lösungen:
2. Die ABC-Formel ist ein Bruch:
3. Da du zwei verschiedene Lösungen hast, steht im Zähler ein Plusminus-Zeichen:
4. In der Lösung zu einer quadratischen Gleichung darf ein Wurzelzeichen nicht fehlen. Dies addierst du einmal und du ziehst es einmal ab, daher steht es an zweiter Stelle im Zähler.
5. Nun musst du noch a, b und c in der Formel verteilen. Du beginnst mit b (denn “beginnen” fängt mit b an), und zwar beide Teile des Zählers. Allerdings musst du beide leicht variieren, denn vor das erste b setzt du ein Minuszeichen und das zweite nimmst du zum Quadrat.
6. Ebenfalls abgezogen wird das, und zwar innerhalb der Wurzel.
7. Nun musst du nur noch das a an die richtigen Stellen setzen, und zwar zwei Stück davon. Deswegen schreibst du auch gleich “2a” in den Nenner. Im Nenner multiplizierst du das a mit dem c. Außerdem multiplizierst du diesen Ausdruck noch mit 4, denn insgesamt hast du vier Elemente in der Formel.
Am besten lernst du die ABC-Formel natürlich durch Anwenden, daher solltest du üben, üben, üben!
Die wichtigsten Fragen zur ABC-Formel / Mitternachtsformel beantwortet
Im Folgenden haben wir für dich die wichtigsten Fragen zur ABC-Formel zusammengestellt – natürlich mit den entsprechenden Antworten! Dir fehlt noch etwas? Dann schreibe uns eine E-Mail an fragen@nachgeholfen.de oder hinterlasse uns einen Kommentar.
Zusammenfassung
So löst du quadratische Gleichungen mit der ABC-Formel (Mitternachtsformel):
- Gleichung so umformen, dass alle Elemente links vom Gleichheitszeichen stehen: ax² + bx + c = 0.
- a, b und c in die ABC-Formel einsetzen.
- Lösungen für x1 und x2 ausrechnen.
Normalerweise hat eine quadratische Gleichung zwei Lösungen. Alternativ zur ABC-Formel kannst du auch die pq-Formel anwenden.
Du suchst weitere Übungen zur ABC-Formel / Mitternachtsformel? Dann schau dir am besten unsere Arbeitshefte an. Noch individueller können wir dich mit unserer Online-Nachhilfe unterstützen.