Das arithmetische Mittel bzw. der Mittelwert ist der wohl bekannteste statistische Kennwert, und auch du hast es sicher schon ausgerechnet. Wir erklären dir hier, was du dazu wissen musst.

Arithmetisches Mittel: Was ist das überhaupt?

In der Umgangssprache bezeichnet man als arithmetisches Mittel den Durchschnitt. Diesen hast du sicher schon einmal gebidelt, zum Beispiel, wenn du deinen Zeugnisdurchschnitt gerechnet hast. Man benutzt diesen Wert, um eine Aussage über eine Menge an Merkmalsträgern zu machen, ohne alle einzelnen Daten aufzulisten. Beispielsweise könntest du sagen, dass es im Juli im Durchschnitt 26 Grad warm ist. Das sagt nichts darüber aus, wie warm es an den einzelnen Tagen ist. Es muss nicht einmal einen einzigen Tag geben, an dem es wirklich 26 Grad warm ist, aber die Abweichungen nach oben und unten sind in Summe gleich groß. So weißt du zwar nichts über die Temperatur am 17. Juli, aber du kannst die Temperatur zumindest ungefähr einschätzen und weißt, dass du keinen Wintermantel brauchst.

Und genau darum geht es, wenn man den Mittelwert berechnet. Man will viele Daten zu einer einzigen Zahl verdichten. Diese eine Zahl kann man leichter verstehen und auch mit anderen vergleichen (zum Beispiel mit der mittleren Temperatur im Juni). Die Verdichtung bedeutet aber auch, dass viele Informationen verloren gehen. Das musst du dir bei der Verwendung statistischer Kennwerte immer vor Augen halten.

So berechnest du das arithmetische Mittel

Um den Mittelwert auszurechnen, benötigst du zunächst einmal Daten. Dies sind die Ergebnisse deiner Messung. Nimm an, du hast den gesamten Juli über jeden Mittag um dieselbe Zeit auf das Thermometer geschaut und dir die Temperatur notiert. Das ist das Ergebnis deiner Messung:

Datum Temperatur
01. Jul 28
02. Jul 28
03. Jul 27
04. Jul 27
05. Jul 27
06. Jul 25
07. Jul 20
08. Jul 20
09. Jul 25
10. Jul 25
11. Jul 27
12. Jul 24
13. Jul 24
14. Jul 22
15. Jul 31
16. Jul 25
17. Jul 32
18. Jul 25
19. Jul 28
20. Jul 28
21. Jul 27
22. Jul 24
23. Jul 32
24. Jul 29
25. Jul 21
26. Jul 27
27. Jul 27
28. Jul 28
29. Jul 25
30. Jul 24
31. Jul 24

 

Das arithmetische Mittel berechnest du, indem du alle Ergebnisse zusammenzählst. Das Ergebnis hiervon ist 806. Dies musst du nun durch die Anzahl der Daten teilen, was bei 31 Tagen im Juli natürlich 31 sind. 806 : 31 = 26, und schon hast du deine Durchschnittstemperatur.

Voraussetzungen, damit du das arithmetische Mittel berechnen kannst

Das arithmetische Mittel ist sehr beliebt, weil es so leicht zu verstehen ist. Daher wird es fälschlicherweise auch für Daten angewendet, für die man es eigentlich gar nicht anwenden kann. Denn die Voraussetzung für die Berechnung des arithmetischen Mittels ist, dass die verwendeten Daten Intervallskalenniveau besitzen. Das bedeutet, dass nicht nur die einzelnen Werte selbst eine Bedeutung haben, sondern auch die Zwischenwerte. Wenn du eine Durchschnittstemperatur errechnest, kann das Ergebnis auch 13,4 Grad sein. Es muss sich nicht immer um eine ganze Zahl handeln. Bei einer Temperatur ist dies in Ordnung, denn 13,4 Grad sind wirklich messbar und daher ist dieses Ergebnis sinnvoll.

Manchmal werden Zahlen jedoch nur verwendet, um eine Rangfolge anzugeben. In dem Fall kann man damit eigentlich gar nicht rechnen. Bei Schulnoten ist das zum Beispiel der Fall. Es gibt keine 1,1 oder 3,27 als Note, weil die 1 nur dafür steht, dass „sehr gut“ die bestmögliche Note ist. Daher ist es statistisch gesehen gar nicht zulässig, Durchschnittsnoten zu errechnen, weil das Ergebnis irreführend ist. Natürlich wird es trotzdem regelmäßig gemacht.

Der Mittelwert und Ausreißer

Das arithmetische Mittel hat noch einen weiteren Nachteil: Ausreißer können es ziemlich verfälschen. Nimm an, du hörst von zwei Orten, an denen die durchschnittliche Jahrestemperatur 26 Grad beträgt. Du weißt natürlich, dass die Temperaturen schwanken können, gehst aber trotzdem davon aus, dass an beiden Orten ein ähnliches Klima herrscht. Bis du die zugrunde liegenden Daten siehst:

Monat Ort 1 Ort 2
Januar 25 0
Februar 25 7
März 26 9
April 27 25
Mai 27 32
Juni 27 39
Juli 26 43
August 26 43
September 27 42
Oktober 26 38
November 25 25
Dezember 25 9

 

Die Temperaturen in den beiden Orten unterscheiden sich stark. Und du kannst daran erkennen, dass ein Mittelwert alleine nie ausreicht, um eine Verteilung zu beschreiben. Tatsächlich kann man mit einem Mittelwert die Wahrnehmung auch bewusst verfälschen. Achte also immer darauf, welche zusätzlichen Informationen du erhältst und bewerte Daten nie allein nach dem arithmetischen Mittel.