Direkte und indirekte Proportionalität

Redaktion


Ob es um die Masse in Abhängigkeit vom Volumen geht, um eine gleichförmige Bewegung oder einfach um Tischbeine: Der Begriff der Proportionalität taucht immer wieder auf – und das nicht nur in der Physik oder Mathematik. Aber wie hängt die Sache jetzt zusammen? Was um alles in der Welt ist indirekte Proportionalität? Und was heißt umgekehrt proportional? Von welchem Faktor reden da eigentlich alle? Und wie kann ich mit den Begriffen rechnen?

Was verstehen wir unter Proportionalität?

Zwei Größen verhalten sich proportional zueinander, wenn sie mit demselben Faktor ansteigen. Oder wenn ihr Quotient konstant ist. So weit erst einmal die Definition. Aber was will mir das Ganze sagen?

Nehmen wir Tische als Beispiel. Ein gewöhnlich gebauter Tisch hat vier Tischbeine. Zwei Tische haben acht Tischbeine. Zehn Tische haben vierzig Tischbeine. Wenn die Zahl der Tische sich verdoppelt, verdoppelt sich auch die Zahl der Tischbeine. Wenn die Zahl der Tische sich verzehnfacht, verzehnfacht sich auch die Zahl der Tischbeine. Oder, um es andersherum zu sagen: Der Quotient aus Zahl der Tischbeine und Zahl der Tische ist vier. Konstant vier. Die Zahl der Tische und die Zahl der Tischbeine verhalten sich proportional zueinander.

In der Physik begegnen uns proportionale Größen (auch: direkt proportionale Größen) zum Beispiel in der gleichförmigen Bewegung. Bei gleichbleibender Geschwindigkeit sind die zurückgelegte Strecke und die Zeit proportional zueinander. Der Quotient gibt die Geschwindigkeit an.

Was verstehen wir unter indirekter Proportionalität?

Der Begriff umgekehrte Proportionalität oder auch indirekte Proportionalität verhält sich genau umgekehrt. Zwei Größen verhalten sich umgekehrt proportional zueinander, wenn das Produkt der Größen konstant ist. Oder wenn die eine mit demselben Faktor ansteigt, wie die andere kleiner wird.

Wenn wir als Beispiel eine Tüte mit 200 Gummibären nehmen, erhält ein Kind, das sie alleine aufessen kann, 200 Gummibären. Wenn es zwei Kinder sind, erhält jedes 100. Bei zehn Kindern sind es 20 Gummibären. Wenn die Zahl der Kinder sich verdoppelt, halbiert sich die Zahl der Gummibären. Wenn die Zahl der Kinder sich verzehnfacht, wird die Zahl der Gummibären durch 10 geteilt.

Anders ausgedrückt: Das Produkt der Zahl der Kinder und der Zahl der Gummibären bleibt gleich. Die Zahl der Kinder und der Gummibären verhält sich indirekt proportional zueinander.

Ein Beispiel in der Physik wäre bei einer gleichförmigen Bewegung das Verhältnis von Geschwindigkeit und der für einen bestimmten Weg gebrauchten Zeit. Wenn die Geschwindigkeit höher wird, braucht das Gefährt für die zurückzulegende Strecke eine geringere Zeit. Das Produkt von Geschwindigkeit und Zeit ist die Länge der Strecke.

Wer hat die Proportionalität entdeckt?

Schon der altgriechische Mathematiker Euklid hat in seinem Werk Elemente die Proportionalität beschrieben und den Begriff geprägt.

In der Mathematik spielen proportionale Größen eine große Rolle. Für den Mathematiker wird ein proportionaler Zusammenhang dargestellt durch eine lineare Funktion der Form

f(x)=m•x

Der Graph, der zu dieser Funktion gehört, ist eine Gerade.
Umgekehrt proportionale Größen werden durch folgende Funktion beschrieben:

f(x)=m/x

Diese Funktion ist für x=0 nicht definiert.

Bei der Dreisatzrechnung spielt das Prinzip der proportionalen Größen eine große Rolle.

‚Die Größe a verhält sich proportional zur Größe b’ wird mathematisch geschrieben a~b.

Wie rechne ich damit?

Wie genau rechnet man nun mit proportionalen oder indirekt proportionalen Größen? Und was ist ein Dreisatz?

Das eigentliche Rechnen ist eigentlich einfach. Das Hauptproblem liegt darin, zu erkennen, ob es sich bei einer Aufgabe um proportionale oder umgekehrt proportionale Größen handelt.

Wenn es in einer Mathematik- oder Physikaufgabe schon klar ist, dass es um Proportionalität geht, ist der Fall eigentlich einfach: Du musst nur noch testen, ob die eine Größe kleiner wird, wenn die andere größer wird, oder umgekehrt.

Beispiel:

Chris knackt Nüsse. Chris schafft 15 Nüsse in einer Stunde. Wie viele Nüsse schafft Chris in 8 Stunden?

Klar, Chris schafft in mehr Stunden mehr Nüsse. Die Größe Zeit ist proportional zur Größe Zahl der Nüsse.

Um die Zahl der Nüsse herauszubekommen, musst du die Zahl für eine Stunde (hier 15) also malnehmen mit der Zahl der Stunden (hier 8). Das Ergebnis sind 120.

Nächstes Beispiel:

Das Kinderzimmer sieht furchtbar aus. Zwei Kinder brauchen 12 Stunden, um es aufzuräumen. Wie lange brauchen 6 Kinder?

Klar, mehr Kinder sind schneller. Eine größere Anzahl an Kindern bedeutet also eine kleinere Zeitgröße. Die Größen Anzahl der Kinder und Zeit sind also indirekt proportional zueinander.

Um die Zeit herauszubekommen, musst du herausbekommen, wie viel mehr Kinder es werden. Es werden dreimal so viele Kinder. Nun musst du die Zahl der Stunden (hier 12) durch diese Zahl, also 3, teilen. Das Ergebnis ist 4. 6 Kinder brauchen nur 4 Stunden zum Räumen.

Der Dreisatz

Nicht immer sind die Verhältnisse so einfach wie in den oben genannten Beispielen. Dann greift der Dreisatz:

Ein Dreisatz ist nichts anderes als die Rechnungen aus den Beispielen oben in mehreren Stufen.

Beispiel: Toni schreibt. In zwei Stunden schafft Toni vier Seiten. Wie viele Seiten schafft Toni in drei Stunden?

Test: Wenn Toni mehr Zeit hat, schafft Toni mehr Seiten. Es handelt sich um direkte Proportionalität.

Rechnung: Wir müssen jetzt erst einmal auf eine Stunde herunterrechnen.
In 2 Stunden schafft Toni 4 Seiten.

In 1 Stunde schafft Toni 4/2 Seiten, das sind 2 Seiten.

In 3 Stunden schafft Toni 23 Seiten, das sind 6 Seiten.

Beispiel 2:

Drei Leute brauchen 4 Stunden, um den Boden zu pflastern. Wie lange brauchen 2 Leute? Test: Wenn es mehr Leute werden, brauchen sie kürzer. Es handelt sich um indirekte Proportionalität. Rechnung: Wir rechnen den Wert auf 1 Person herauf. 3 Leute brauchen 4 Stunden. Ein Mensch braucht 34 Stunden, das sind 12 Stunden.

2 Leute brauchen 12/2 Stunden, das sind 6 Stunden.

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