In diesem Artikel zeigen wir dir, was Matrizen sind, wozu du sie brauchst und wie du mit ihnen rechnen kannst.

Was sind Matrizen?

Zunächst einmal ist eine Matrix eine bestimmte Anordnung von Zahlen, und zwar in rechteckiger Form. Du kannst dir eine Matrix vorstellen wie eine Tabelle. Man sagt, eine Matrix hat m Zeilen und n Spalten bzw. sie ist vom Typ (m, n) bzw. sie hat die Dimension mxn.  Eine Matrix sieht in allgemeiner Schreibweise so aus:

\underline{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . . . & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . . . & a_{2n} \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & . . . & a_{mn}\end{pmatrix}

Eine konkrete Matrix sieht zum Beispiel so aus:

\underline{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \\ 4 & -2 & 6 \\  12 & 2 & 10\end{pmatrix}

Die einzelnen Werte, die in der Matrix stehen, nennt man Koeffizienten.

Besondere Matrizen

Matrizen können eine besondere Form oder besondere Werte haben und erhalten dafür dann einen speziellen Namen. Die wichtigsten besonderen Matrizen stellen wir dir hier vor.

Matrizen mit besonderer Form

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix hat – der Name verrät es schon – genauso viele Zeilen wie Spalten. Dabei ist es unerheblich, wie viele Zeilen und Spalten dies sind, wichtig ist nur, dass m = n ist.

Vektoren / Zeilenvektoren

Vektoren hast du wahrscheinlich bereits kennengelernt. Sie sind im Grunde nichts anderes als Matrizen mit nur einer Spalte. Auch Zeilenvektoren sind besondere Matrizen, nämlich solche mit nur einer Zeile.

Matrizen mit besonderen Werten

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix besteht nur aus Nullen und Einsen. Die Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) besteht aus Einsen, alle anderen Koeffizienten haben den Wert 0. Sie sieht also wie folgt aus:

\underline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & . . . & 0 \\ 0 & 1 & 0 & . . . & 0 \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ 0 & 0 & 0 & . . . & 1 \end{pmatrix}

Nullmatrix

Die Nullmatrix hat ausschließlich Nullen als Werte. Sie kann natürlich unterschiedliche Größen bezüglich Zeilen und Spalten annehmen.

Transponierte Matrix

Eine transponierte Matrix ist die Umkehrmatrix zu einer bestehenden Matrix. Sie wird mit \underline{A}^T bezeichnet und du errechnest sie durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen. Die erste Spalte wird also zur ersten Zeile usw.

\underline{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . . . & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . . . & a_{2n} \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & . . . & a_{mn}\end{pmatrix}

\underline{A}^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} & . . . & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & . . . & a_{n2} \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ . & . & . &    & . \\ a_{1m} & a_{2m} & a_{3m} & . . . & a_{nm}\end{pmatrix}

Wozu brauchst du Matrizen?

Matrizen sind eine andere Schreibweise für lineare Gleichungssysteme. Statt mehrere Zeilen mit verschiedenen Gleichungen aufzuschreiben, kannst du die Variablen auch weglassen und lediglich die Koeffizienten in eine Matrix schreiben. Die Operationen, die du mit einer Matrix ausführen kannst, sind so deutlich leichter zu überprüfen und erfordern weniger Schreibarbeit.

So kannst du mit Matrizen rechnen

Addition und Subtraktion

Wenn zwei (oder mehr) Matrizen dieselbe Dimension haben, kannst du sie ganz einfach addieren, indem du die Koeffizienten, die an derselben Stelle der Matrix liegen, miteinander addierst.

Beispiel:

\underline{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \end{pmatrix}

\underline{B} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 \\  12 & 2 & 10\end{pmatrix}

\underline{A} + \underline{B} = \begin{pmatrix} 3 + 4 & 2 -2 & 4 + 6 \\ 2 + 12 & 7 + 2 & 9 + 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 10 \\ 14 &9 & 19\end{pmatrix}

Die Rechengesetze für Addition und Subtraktion gelten für Matrizen analog.

Multiplikation

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Du kannst jede beliebige Matrix mit einer Konstanten, die man Skalar nennt, multiplizieren, indem du einfach alle einzelnen Koeffizienten mit dieser Zahl mulitplizierst.

Beispiel:

\underline{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \end{pmatrix}

2 \cdot \underline{A} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 7 & 2 \cdot 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 8 \\ 4 & 14 & 18 \end{pmatrix}

Multiplikation eines Spalten- mit einem Zeilenvektor

Die Multiplikation zweier Vektoren ist eine besondere Form der Matrizenmultiplikation. Du kannst einen Zeilen- mit einem Spaltenvektor multiplizieren, wenn sie gleich viele Elemente haben. Dann addierst du die jeweils ersten Koeffizienten miteinander, die zweiten und so weiter. Die Ergebnisse addierst du miteinander.

Beispiel:

\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)

\underline{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \end{pmatrix}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot  3 + 3  \cdot 2 + 1  \cdot  4 = 6 + 6 + 4 = 16

Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix

Auf dieselbe Weise kannst du einen Vektor mit einer Matrix multiplizieren, sofern die Matrix so viele Spalten wie der Vektor Zeilen hat. Du behandelst dann jede Zeile der Matrix wie den Zeilenvektor im vorigen Beispiel und erhältst einen Vektor als Ergebnis.

Beispiel:

\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)

\underline {A}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 1 \end{pmatrix}

\vec{a} \cdot \underline{A} =  \left(\begin{array}{c} 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 \\ 2 \cdot 2 + 2 \cdot 7 + 1 \cdot 9 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 6 + 6 + 4 \\ 4 + 21 + 9  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 16 \\ 34 \end{array}\right)

Multiplikation zweier Matrizen

Ein bisschen komplizierter wird es, wenn du zwei Matrizen miteinander multiplizierst. Grundsätzlich wendest du jedoch dieselbe Methodik weiter an.

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix hast du einen Vektor erhalten. Multiplizierst du eine Matrix mit einer Matrix, erhältst du als Ergebnis eine Matrix, die du dir wie mehrere Vektoren nebeneinander vorstellen kannst – für jede Zeile der ersten Matrix erhält die Ergebnismatrix eine weitere Spalte. Voraussetzung ist natürlich, dass die zweite Matrix so viele Zeilen hat wie die erste Spalten und so viele Spalten wie die erste Zeilen. Im Beispiel wird es deutlicher.

\underline {A}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 1 \end{pmatrix}

\underline {B}=\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 3 \\ -1 & 10 \end{pmatrix}

\underline {A} \cdot \underline{B} =  \begin{pmatrix} 3 \cdot 0  + 2 \cdot 2  + 4 \cdot (-1) & 3  \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 10 \\ 2 \cdot 0 + 7 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot 4 + 7 \cdot 3 + 1 \cdot 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0  + 4  -4 & 12 + 6 + 40 \\ 0 + 14 -1 & 8 + 21 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 58 \\ 13 & 39 \end{pmatrix}

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Autor(in)

Alle Artikel von Yvonne Kraus Hier schreibt Yvonne Kraus, die Gründerin von nachgeholfen.de.

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