Vierecke

Im Unterricht und deiner Umgebung werden dir oft Vielecke begegnen. Besonders oft handelt es sich dabei um verschiedene Vierecke, wie z.B. Quadrate, Rechtecke oder Drachen. In diesem Artikel lernst du diese Formen etwas näher kennen.

Allgemeine Eigenschaften von Vierecken

Obwohl es unter den Vierecken einige Sonderlinge gibt, kannst du dich doch darauf verlassen, dass einige Eigenschaften für wirklich jedes ebene Viereck gelten:

Jedes Viereck hat vier Seiten und zwei Diagonalen.
Ein Viereck ist ein Polygon (so nennt man in der Mathematik ebene Figuren mit mindestens 3 geraden Kanten) mit vier Ecken.

Jedes Viereck hat eine Innenwinkelsumme von 360°. Wie man in der Abbildung gut erkennen kann, lässt sich ein Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen. Da ein Dreieck eine Winkelsumme von 180 Grad hat, ergibt sich für das Viereck eine doppelt so große Winkelsumme.

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Jedes Viereck hat eine Außenwinkelsumme von 360 Grad. Ein Außenwinkel ist ein Winkel, der einen Innenwinkel zu 180° ergänzt. Hier z.B. der blaue Innenwinkel und der grüne Außenwinkel. Bei konvexen Vierecken können die Außenwinkel einfach addiert werden, um auf 360° zu kommen.

Einteilung der Vierecke

Konvexe Vierecke

Befinden sich beide Diagonalen im Inneren des Vierecks, so handelt es sich um ein konvexes Viereck (Weiter im Text findest du auch Beispiele für konkave Vierecke). Zu dieser Gruppe zählen die meisten Vierecke, deren wichtigste Vertreter du im Folgenden beschrieben findest.

Diese Grafik zeigt dir die verschiedenen konvexen Vierecke. Du kannst die Grafik von unten nach oben so lesen: Ein Quadrat erfüllt die Merkmale von Rhombus und Rechteck. Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez und ein Sehnenviereck usw. Ein Rhombus ist aber beispielsweise nicht unbedingt ein gleichschenkliges Trapez, da seine Ecken nicht notwendig auf einen Kreis passen müssen. Im weiteren Text lernst du die Eigenschaften der diversen Vierecke kennen. Dabei gilt, dass Eigenschaften, die für allgemeinere Vierecke gelten, nicht nochmal aufgeführt werden. Für ein Quadrat werden also nicht alle Eigenschaften aufgeführt, die bereits z.B. bei Rechteck stehen. Folge den Pfeilen, um alle Eigenschaften der gesuchten Form zu finden. So musst du dir nicht unnötig lange Listen für jede Form merken. Dieser Artikel soll dir dabei helfen, die verschiedenen Figuren richtig zu benennen. Wenn du weißt, welches Viereck du gerade vor dir hast, dann kannst du die dafür passenden Formeln einfach in der Formelsammlung nachschlagen.

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Tangentenviereck

Ein Viereck nennt man Tangentenviereck, wenn seine Seiten Tangenten eines Kreises sind. Es hat folgende Eigenschaften:

Die Summe zweier gegenüberliegender Seiten ist gleich der Summe der beiden anderen Seiten.
Der Mittelpunkt des Inkreises befindet sich am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der vier Eckwinkel.
Vom Inkreismittelpunkt auf die Seiten gezeichnete Senkrechte zerlegen es in vier Drachenvierecke.

Trapez

Trapeze sind Vierecke mit zwei parallel zueinander liegenden Seiten, welche man Grundseiten nennt. Üblicherweise wird die längere dieser Grundseiten als Basis bezeichnet. Achtung Sprachverwirrung: Im amerikanischen Englisch nennt man auch irreguläre Vierecke Trapezium, das deutsche Trapez wird als Trapezoid bezeichnet. Eigenschaften des Trapezes:

Als Höhe des Trapezes wird der Abstand zwischen zwei parallelen Seiten bezeichnet.
Ein konvexes Trapez besitzt zwei Diagonalen, die sich im gleichen Verhältnis schneiden.
Durch die Diagonalen wird das Trapez in vier Dreiecke geteilt. Zwei dieser Dreiecke sind ähnlich (hier gelb gekennzeichnet) und zwei sind flächengleich (weiß).
Ein Trapez kann auch konkav (überschlagenes Viereck) sein, wird dann aber nicht zu den echten Trapezen gezählt.

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Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf dem Umkreis liegen, was alle Seiten zu Sehnen des Kreises macht. Eigenschaften eines konvexen Sehnenvierecks

Es gilt der Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten ist gleich dem Produkt der Diagonalen.
Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°.
Auch in konkaven Sehnenvierecken gilt der Sehnensatz: Die Produkte von je zwei gegenüberliegenden Diagonalenabschnitten sind gleich groß. (Gegenüberliegende Abschnitte liegen auf einer Strecke ohne Knick.)

Drachenvierecke

Bei den Drachenvierecken (auch Deltoide genannt) ist eine Diagonale Symmetrieachse, sie haben also zwei Paare gleich langer, benachbarter Seiten. Sie haben folgende Eigenschaften:

Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, das nennt man auch orthogonal.
Die Symmetrieachse halbiert die andere Diagonale.
Die einander gegenüberliegenden Winkel (an den Enden jener Diagonale, die nicht Symmetrieachse ist), sind gleich groß.
Die Symmetrieachse halbiert die Winkel an den anderen Eckpunkten.
Jedes konvexe Drachenviereck ist ein Tangentenviereck, da es einen Inkreis hat.
Ein konvexes Drachenviereck ist ein Sehnenviereck, wenn die beiden gleichen Eckwinkel rechte Winkel sind.

Parallelogramm

Ein Parallelogramm (auch Rhomboid genannt) ist ein konvexes, ebenes Viereck, bei dem alle gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Es hat folgende Eigenschaften:

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und schneiden sich nicht.
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
Diagonalen halbieren einander.
Es ist punktsymmetrisch.
Jede Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke.
Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez ist dann gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, eine identische Länge haben. Diese Bedingung ergibt sich auch, wenn an einer der Grundseiten gleiche Innenwinkel anliegen oder wenn es eine zu einer Grundseite senkrechte Symmetrieachse besitzt.

Rhombus

Ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind und dessen gegenüberliegende Winkel gleich groß sind, nennt man Raute oder Rhombus. Der Rhombus hat folgende besondere Eigenschaften:

Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen.
Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich.
Winkel werden durch Diagonalen halbiert.

Rechteck

Das Rechteck ist ein Viereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es hat folgende Eigenschaften:

Die Mittelsenkrechten der Seiten bilden seine Symmetrieachsen.

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Quadrat

Das Quadrat ist das bemerkenswerteste aller Vierecke. Es besitzt vier gleich lange Seiten und ist damit das einzige regelmäßige Viereck. Es hat folgende Eigenschaften:

Alle seine Seiten sind gleich lang.
Alle seine Winkel sind gleich groß.
Am Schnittpunkt der Diagonalen liegen Mittelpunkte von Um- und Inkreis.

Konkave und überschlagene Vierecke

Konkave Vierecke

Bei einem konkaven Viereck handelt es sich um ein Viereck, bei dem genau eine Diagonale außerhalb des Vierecks liegt. Einige der Eigenschaften der konvexen Figuren gelten nicht für ihre konkaven Varianten. Beispielsweise ist die Summe der Außenwinkel bei normaler Zählung bei konvexen Vierecken 360°, bei konkaven Figuren können sich aber andere Werte ergeben. Du solltest daher (und nicht nur bei Winkeln) vorsichtig sein, bevor du eine Formel, die z.B. für ein Drachenviereck gilt, auf ein konkaves Drachenviereck anwendest. TIPP: Die Begriffe konkav und konvex kannst du einfach unterscheiden. Konkave Vielecke scheinen eine Delle zu haben. Da das englische Wort für Höhle „cave“ lautet, kannst du dir konkav einfach daher herleiten.

Überschlagene Vierecke

Überschlagene Vierecke, wie z.B. das überschlagene Trapez, ähneln zwei Dreiecken, die sich an den Spitzen berühren. Du kannst sie gut daran erkennen, dass beide Diagonalen außerhalb des Vierecks sind. Sie haben zwar vier Ecken, werden aber nicht zu den echten Vierecken gezählt. Bei solchen Sonderlingen sollte es dich nicht überraschen, dass manche Formeln für Vierecke nicht auf überschlagene Vierecke zutreffen.

Hinweise zu der Vielzahl an Vierecken.

In diesem Artikel hast du viele Eigenschaften von Vierecken kennengelernt. Das alles zu lernen dauert eine Weile. Mit der Zeit wirst du vieles auch einfach offensichtlich finden, was dir momentan vielleicht noch etwas seltsam vorkommt. Das Begriffspaar konkav und konvex wird dir vermutlich auch im Physikunterricht bei der Form von Linsen und vielleicht später auch bei Funktionen wieder begegnen. Viereck-Hierarchie in Anlehnung an eine Abbildung von Lars Rohwedder

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