Die Kreiszahl π (Pi) findet nicht nur in der Mathematik, sondern in beinahe allen Wissenschaften eine sehr wichtige Bedeutung. Ohne diese Zahl wären die meisten Berechnungen gar nicht erst möglich. Auch in der Physik beschreibt diese Zahl eine große Menge an Zusammenhängen und hat sich in den Naturwissenschaften als grundlegend erwiesen. Dieser Artikel erklärt, wie die Zahl π Pi berechnet wurde, was sie für eine Bedeutung hat und was du im Allgemeinen über diese Zahl wissen solltest.
Geschichtlicher Hintergrund
Zunächst einmal etwas Geschichtliches: die ersten Erkenntnisse zu einer solchen Zahl gehen schon bis zu 300 v. Chr. zurück, als Archimedes durch den Umfang eines 96-Ecks diese Zahl abschätzen konnte.
Ihm zuvorgekommen sind einige Wissenschaftler, die bereits entdeckt hatten, dass der Umfang eines Kreises immer in einem mehr oder weniger festen Verhältnis zu seinem Radius steht, also zur Hälfte des Durchmessers. Den Wissenschaftlern wurde schnell klar, dass es sich dabei um eine ganz besondere Zahl handeln musste. Denn egal, was für einen Kreis sie sich angesehen hatten, das Verhältnis von Umfang und Durchmesser war immer sehr ähnlich, wenn nicht exakt gleich.
Was genau ist die Kreiszahl π?
Die Kreiszahl Pi ist eine irrationale Zahl. Das beutetet, dass sie nicht als der Wert von einem Bruch zweiter ganzer Zahlen dargestellt werden kann und somit unendlich viele Nachkommastellen besitzt. Computer können dabei beliebig viele Nachkommastellen von Pi ausrechnen. In der Regel wird für einfache Berechnung der Wert von π als 3,14 angekommen. Die Herleitung dieses Wertes kann dabei wie folgt erfolgen:
Wir zeichnen einen Kreis mit dem Durchmesser von einem Zentimeter und messen seine Länge. Das kann entweder mit einem Faden oder mithilfe eines Computerprogramms erfolgen. Wir stellen fest, dass der Umfang genau 3,14 Zentimeter beträgt. Verwenden wir die bekannte Formel für den Kreisumfang:
U = 2 * π * r,
wobei r der Radius auch als durch d/2 (d der Durchmesser) ersetzt werden kann, so erhalten wir als Wert von Pi die Zahl 3,14. Diese Zahl kann ebenfalls aus der Formel für die Kreisfläche abgeschätzt werden, allerdings lässt sich eine Fläche deutlich schwieriger messen als ein Umfang.
Die Kreiszahl π stellt damit ein eindeutiges Verhältnis zwischen Kreisfläche/Kreisumfang und seinem Durchmesser und Radius dar. Dieses Verhältnis ist dabei jedoch unabhängig vom Kreis, die Zahl von Pi wird dabei immer dieselbe bleiben. Die Nachkommastellen dieser Kreiszahl folgen keinem Schema, d.h. es ist nicht möglich, die weiteren Nachkommastellen vorauszusagen, ohne sie wirklich auszurechnen. Die Zahl ist unendlich.
Die Kreiszahl Pi als Winkelangabe und das Bogenmaß
Nicht selten steht in Lehrbüchern geschrieben, dass ein Winkel z.B. Pi/2 groß ist. Doch was genau hat nun eine einfache Zahl mit dem Wert von 3,14 mit Winkeln zu tun? Dafür ist ein Kreis mit dem Radius von einem Zentimeter hilfreich. Der Umfang dieses Kreises ist dann wieder:
U = 2 * π * r, d.h U = 2 * π, da der Radius einfach nur ein Zentimeter groß war. Allerdings ist auch bekannt, dass sich in einem Kreis genau 360 Winkelgrad befinden, was beutetet, dass
360 Grad = 2 * π oder 1 Grad = π / 180
Die Winkelangabe als Vielfache der Kreiszahl Pi wird als Bogenmaß bezeichnet und findet ebenfalls in vielen Naturwissenschaften eine große Bedeutung. Sie wird auch durch die Einheit “rad” abgekürzt, moderne Taschenrechner und Computer können dabei sowohl mit dem gewöhnlichen Grad als auch mit “rad” umgehen.
Die Einheit des “rad” wird dabei auch bei der Berechnung von Cosinus-und Sinuswerten sehr häufig verwendet. Dabei sollten sich Studierende bestimmte Winkelstellungen, wie z.B.
0 Grad = 0π 90 Grad = π/4 180 Grad = π/2 270 Grad = 3/4π
270 Grad = π
einprägen.
Welche Formeln verwenden die Kreiszahl Pi?
Die Kreiszahl Pi kommt in einer relativ großen Menge von Formeln vor:
Kreisumfang: 2 * π * r
Kreisfläche: π * r*r
Aus diesen zwei Formeln werden auch die Formeln für andere Figuren, wie z.B. für den Kegel abgeleitet, wobei die Fläche eines Kegels dann:
Kegelfläche: 1/3 * h * π * r*r ist, wobei der hintere Teil der Gleichung an die Kreisfläche des Kegels erinnert.
Auch das Volumen und die Oberfläche einer Kugel sind eng mit dieser ungewöhnlichen Zahl verbunden:
Kugelvolumen: 4/3πrrr
Kugelfläche: 4πr*r
In der Analysis kann die Zahl Pi auch durch unendliche Reihen oder Integrale dargestellt bzw. approximiert werden. Auch verschiedene Transformationen, wie z.B. die Fouriertransformation, die vor allem in der Signalverarbeitung eine sehr wichtige Rolle spielt, beinhaltet diese Zahl als Normierungskonstante.
Eine der wohl bekanntesten Formeln in der Physik, die sogenannte Unschärferelation von Heisenberg verwendet auch die Kreiszahl in der Quantenmechanik und sagt, dass die Unschärfe aus Ort und Impuls ein Vielfaches von Pi und dem Planckschen Wirkungsquantum nicht überschreiten können:
deltaP * deltaX >= h/(4*π)
In manchen Ländern der Welt, wie z.B. den USA, ist die Zahl sogar so bekannt geworden, dass sie einen eigenen Tag verdient hat: der 14. März, in US-Datumsnotation 3/14 ist damit der Tag dieser ungewöhnlichen Zahl.
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