Wenn du dich in der Schule zum ersten Mal mit Kurvendiskussion beschäftigst, lernst du auch sehr bald quadratische Funktionen kennen, die schon ganz zu Beginn analysiert werden. Dieser Artikel stellt dir die wichtigsten Fakten zu quadratischen Funktionen vor.

Was sind quadratische Funktionen?

Quadratische Funktionen sind Abbildungen, deren Variable x als Quadrat vorkommt. Das einfachste Beispiel für eine quadratische Funktion lautet also f(x) = x2, aber auch g(x) = -2x2 – 7x + 9 ist eine quadratische Funktion. Quadratische Funktionen werden als sogenannte Parabeln gezeichnet. Dies sind Funktionen, die nach oben oder unten offen sind und gegen unendlich (oder minus unendlich) streben. Die folgende Graphik zeigt die Funktion f(x) = x2, die man auch Normalparabel nennt. Sie verläuft durch den Nullpunkt des Koordinatensystems und ist an der y-Achse gespiegelt.

Quadratische Funktion (Normalparabel)
Quadratische Funktion (Normalparabel)

Eigenschaften von quadratischen Funktionen

Alle quadratischen Funktionen haben ein paar Eigenschaften gemeinsam, die es leichter machen, sie zu zeichnen und auch zu untersuchen. Die wichtigsten haben wir für hier für dich zusammengestellt.

  • Quadratische Funktionen haben genau einen Scheitelpunkt. Er ist lokales und absolutes Minimum oder Maximum. Ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt, hängt vom Vorzeichen des Koeffizienten von x2 ab. Bei einem positiven Vorzeichen hat die Funktion ein Minimum, bei einem negativen ein Maximum.
  • Eine quadratische Funktion hat keinen Wendepunkt.
  • Quadratische Funktionen werden als Parabel gezeichnet, die nach oben oder unten hin offen ist.
  • Jede quadratische Funktion lässt sich spiegeln, und zwar an der Geraden, die parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt der Funktion verläuft.
  • Die Funktion kann jeden Wert oberhalb des Minimums oder jeden Wert unterhalb des Maximums annehmen.
  • Quadratische Funktionen müssen keine Nullstellen besitzen, wenn das Minimum der Funktion über 0 liegt bzw. das Maximum unter 0. Maximal haben sie zwei Nullstellen, da die x-Achse nur zwei Mal geschnitten werden kann (die Funktion hat ja nur den einen Scheitelpunkt). Manche quadratische Funktionen haben genau eine Nullstelle.