Was haben Ziegen mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun? Nicht wirklich viel, aber als “Ziegenproblem” ist ein Zufallsexperiment bekannt geworden, das für viel Verwirrung gesorgt hat (und immer noch sorgt). In diesem Artikel erklären wir dir, was man darunter versteht, was die überraschende Lösung ist, und warum sie so verwirrend ist.
Was ist das Ziegenproblem?
Vielleicht kennst du noch die Spielshow Geh aufs Ganze!, in der ein Kandidat sich zwischen drei verschlossenen Türen entscheiden musste. Hinter einer der Türen stand der Hauptgewinn – ein Auto oder ähnliches – hinter den anderen beiden ein großes rotes Stofftier: der Zonk.
[quads id=1]Diese Spielshow geht auf eine ähnliche Show aus den USA zurück. Statt Zonks standen hier jedoch Ziegen hinter den Türen, die keinen Hauptgewinn hatten. Von diesen Ziegen leitet sich der Name “Ziegenproblem” ab. Da der Moderator der amerikanischen Show Monty Hall hieß, wird es manchmal auch als “Monty-Hall-Dilemma” bezeichnet.
Der genaue Spielablauf sah dabei wie folgt aus: Der Kandidat oder die Kandidatin wählten eine Tür. Monty Hall, der wusste, wo die Ziegen sind, ließ nun eine der beiden anderen Türen öffnen, hinter der sich eine Ziege befand. Nun durften die Kandidat:innen noch einmal wählen. Die Tür, die in der zweiten Runde gewählt wurde, wurde dann geöffnet, und wenn dort keine Ziege stand, gab’s den Hauptgewinn.
Im Ziegenproblem geht es nun darum, welche Entscheidung aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht rational ist. Sollte man die Tür wechseln, nachdem Monty Hall eine Tür geöffnet hatte, oder sollte man bei der ursprünglichen Wahl bleiben?
Intuitive Lösung des Ziegenproblems
Was denkst du? Sollte man die Tür wechseln? Die meisten Menschen schätzen, dass es egal ist, ob man die Tür wechselt oder nicht. In Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt hieße das, dass in der ersten Runde die Wahrscheinlichkeit, die richtige Tür zu treffen, ein Drittel ist, weil es drei identische Türen gibt. In der zweiten Runde, in der nur noch zwei Türen im Rennen sind, müsste die Wahrscheinlichkeit für jede der Türen dann 1/2 sein.
[quads id=2]Diese intuitive Lösung ist jedoch falsch. Tatsächlich ist es so, dass es sinnvoll ist, die Tür zu wechseln, weil man so seine Chancen auf den Preis verdoppelt. Hört sich für dich falsch und völlig unlogisch an? Damit bist du nicht allein. Es stimmt aber. Wir erklären dir im folgenden Abschnitt, warum das so ist.
Das Ziegenproblem wahrscheinlichkeitstheoretisch betrachtet
Der Denkfehler, der vielen unterläuft, wenn sie das Ziegenproblem “aus dem Bauch heraus” betrachten, ist, dass sie die erste und die zweite Runde als voneinander unabhängig bewerten. Wäre das so und würde die Tür nach der ersten Runde rein zufällig geöffnet, würde das auch stimmen. Das ist aber nicht so.
Denn Monty Hall weiß ja, hinter welcher Tür das Auto ist. Er wird nie die Tür öffnen, hinter der das Auto steht, sondern immer eine Ziegentür. Man kann die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Runde also nicht losgelöst von der ersten betrachten, sondern es handelt sich hierbei um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Exkurs: Einfache und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wenn du schon weißt, was bedingte Wahrscheinlichkeiten sind, lies am besten direkt im nächsten Abschnitt weiter. Ansonsten kommt hier eine kurze Zusammenfassung.
Einfache Wahrscheinlichkeiten (zum Beispiel der Wurf einer 6 beim Würfeln) lassen sich sehr leicht berechnen. Wenn alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind – und das ist beim Würfeln der Fall – teilt man einfach die Anzahl “positiven” Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Wenn du eine 6 würfeln möchtest, ist die Wahrscheinlichkeit in einem Wurf dafür 1/6, wenn du eine gerade Zahl würfeln möchtest, ist sie 3/6 = 1/2, weil es 3 gerade Zahlen auf einem Würfel gibt.
Vielleicht reicht dir das als Experiment ja noch nicht. Du könntest zum Beispiel ausrechnen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass du eine 6 würfelst, nachdem du gerade schon mal eine 6 gewürfelt hast. In dem Fall suchst du eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Du kannst den zweiten Wurf nicht mehr separat betrachten, sondern du musst zunächst den ersten Wurf bewerten (1/6) und dann die Wahrscheinlichkeit für den zweiten (1/6) mit der für den ersten multiplizieren. Du erhältst also 1/6 • 1/6 = 1/36. Am einfachsten kannst du dies anhand eines Ereignisbaums oder einer Tabelle nachvollziehen, was wir im nächsten Schritt machen.
Lösung mit Hilfe einer Tabelle
Um es dir einfacher zu machen, das Ziegenproblem nachzuvollziehen, haben wir alle möglichen Ergebnisse in der folgenden Tabelle aufgezeichnet. Wir betrachten dabei als Bedingung, welche Tür in der ersten Runde gewählt wurde.
Wenn du durchzählst, wirst du feststellen, dass in einem Drittel aller Fälle das Verbleiben die richtige Wahl ist und in zwei Dritteln der Fälle wechseln besser ist. Die Wahrscheinlichkeit spricht also ganz klar für das Wechseln.
[quads id=3]Doch woran liegt das? Der Schlüssel liegt darin, dass der Moderator weiß, hinter welchem Tor das Auto steht. In der ersten Runde liegt die Wahrscheinlichkeit, das Auto zufällig zu erwischen, genau bei einem Drittel. Oder anders ausgedrück: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter dem Tor steht, das der Kandidat oder die Kandidatin in der ersten Runde wählt, ist ein Drittel. Und das ändert sich in der zweiten Runde ja nicht plötzlich. Egal, was der Moderator macht, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand auf Anhieb richtig getippt hat, bleibt gleich. Wenn er nicht richtig getippt hat (dafür ist die Wahrscheinlichkeit entsprechend 2/3), wird die Auswahl des Moderators automatisch die richtige Tür übriglassen. Es ist also tatsächlich sinnvoll, in der zweiten Runde zu wechseln.
Das Ziegenproblem und Marilyn vos Savant
Das Ziegenproblem zeigt außerdem, wie Frauen in der Wissenschaft wahrgenommen werden. Marilyn vos Savant, in mehreren Intelligenztests als eine der intelligentesten Personen der Welt getestet, beantwortete in den 1990er Jahren in ihrer Kolumne einen Leserbrief, der die Frage nach dem Ziegenproblem stellte. Sie schrieb, dass es vorteilhaft sei, in der zweiten Runde zu wechseln.
Dies führte zu einer heftigen Kontroverse und zu vielen Diskussionen mit vor allem männlichen Mathematikern und Wissenschaftlern. Auch Monty Hall selbst schaltete sich ein und spielte das Ziegenproblem mit mehreren Kandidaten nach, aber anders, als es in der Aufgabenstellung beschrieben ist. Er bot nicht jedem Kandidaten ein Wechseln an, sondern nur denjenigen, die bereits in der ersten Runde das Auto gewählt hatten – was die Wahrscheinlichkeiten natürlich ändert.
Tatsächlich war das Problem im Leserbrief ungenau formuliert. Marilyn vos Savant wies jedoch bereits früh darauf hin, dass es für die Lösung wichtig ist, dass der Moderator vor der zweiten Runde auf jeden Fall eine Tür mit einer Ziege dahinter öffnet.
Mittlerweile sind auch Skeptiker überzeugt und haben sich vos Savants Lösung des Ziegenproblems angeschlossen.
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