Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und zählt zur Statistik. Thema ist die Beurteilung von Zufallsereignissen. Es wird die Frage untersucht, wie wahrscheinlich das Eintreten von einem oder mehreren Ereignissen unter bestimmten Voraussetzungen ist. Mit der Stochastik versuchen Mathematiker*innen und Statistiker*innen also, Aussagen über die Zukunft zu treffen. Da wir alle nicht wissen, was definitiv passieren wird, versucht man stattdessen, herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, oder welches Zukunftsszenario das wahrscheinlichste ist. Wenn du dich beispielsweise morgens entscheidest, ob du einen Schirm mit zur Schule nimmst oder nicht, beurteilst du vorher, wie wahrscheinlich es ist, dass du ohne Schirm nass wirst. Du ziehst dazu alle Informationen heran, die du hast (aktuelles Wetter, Wetter-App, deine eigene Erfahrung, Länge des Weges, deine Kleidung) und entscheidest dann.

In der Stochastik arbeitet man ganz ähnlich, nur etwas strukturierter. Statistiker*innen ziehen auch Informationen heran, die sie dann Daten nennen. Zur Beurteilung von Wahrscheinlichkeiten nutzen sie statistische Methoden. Dazu zählen bespielsweise statistische Kennwerte. Diese erlernst du in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Viele Schülerinnen und Schüler tun sich anfangs schwer damit. Dabei ist gerade die Stochastik ein ganz praktischer Zweig der Mathematik. Wenn du dir immer praktische Einsatzmöglichkeiten vor Augen führst, fällt dir das Erlernen sicher leichter.





Mathematische Darstellung

Die einfachste Art, sich die Wahrscheinlichkeitstheorie aus bereits bekannten mathematischen Zweigen abzuleiten, ist, sie wie Mengenlehre zu betrachten. Jedes Ereignis, das eintreten kann, ist Teil einer Menge, und zwar der Menge der möglichen Ereignisse. Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchte, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, setzt man das Ereignis ins Verhältnis zur Zahl der möglichen Ereignisse.

Ein Beispiel: Wenn ich einen Würfel werfe, gibt es sechs mögliche Ergebnisse des Wurfs. Die Anzahl der möglichen Ereignisse ist also 6. Wenn ich wissen möchte, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Zwei geworfen wird, nehme ich die Anzahl der Ereignisse, die mich interessieren (das ist in diesem Fall nur eins) und teile sie durch die Anzahl der möglichen Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu werfen, beträgt also 1/6. Wenn du wissen möchtest, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine gerade Zahl geworfen wird, errechnest du das auf dieselbe Weise. In dem Fall gibt es allerdings drei verschiedene „positive“ Ausgänge, sodass die Wahrscheinlichkeit 3/6 oder 50 % beträgt.





Die Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt natürlich nicht nur so einfache Fälle wie den Wurf eines Würfels. Sie befasst sich zum Beispiel auch mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, also der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt unter der Bedingung, dass vorher ein anderes eingetreten ist. Im Würfel-Beispiel wäre eine solche Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zwei hintereinander ausgeführte Würfen jedes Mal eine Zwei fällt. Das Regenschirm-Beispiel von oben fällt ebenfalls in diese Kategorie. Im Februar wirst du vielleicht eher einen Schirm mitnehmen als im Juli, weil du die Erfahrung gemacht hast, dass es im Februar häufiger regnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es regnet, ist also unter der Bedingung, dass gerade Februar ist, höher.

Zufallsexperimente und statistische Methoden

Woher weißt du, dass es im Februar häufiger regnet als im Juli? Vielleicht hat dir das jemand gesagt, aber sehr wahrscheinlich hast du auch selbst die Erfahrung gemacht. Du erinnerst dich wahrscheinlich daran, dass es in den letzten Jahren an jedem dritten Tag im Februar und nur an jedem 15. Tag im Juli geregnet hat. Du leitest also aus der Vergangenheit Aussagen über eine wahrscheinliche Entwicklung in der Zukunft ab.

Damit wendest du unbewusst bereits statistische Methoden an. Wenn Forscherinnen und Forscher nämlich nichts darüber wissen, wie sich die Wahrscheinlichkeiten verteilen, probieren sie es einfach aus. Dazu nutzen sie sogenannte Zufallsexperimente. Ein ganz einfaches Zufallsexperiment ist der Wurf einer Münze. Wenn du diese zum Beispiel 200 Mal hochwirfst und die Ergebnisse notierst, solltest du in etwa 100 Mal Kopf und 100 Mal Zahl erhalten. Auf Basis dieser Erfahrung kannst du dann die Wahrscheinlichkeit dafür ableiten, dass der nächste Wurf als Ergebnis Kopf hat.

Statistische Methoden lassen sich außerdem anwenden, um sich ein systematisches Bild über die Zusammensetzung einer Gruppe oder Menge zu verschaffen. So kannst du zum Beispiel die Anzahl von Jungen und Mädchen in deiner Klasse zählen und erhältst damit die absolute Häufigkeit. Wenn du diese durch die Gesamtzahl an Schülerinnen und Schülern in deiner Klasse teilst, hast du schon die relative Häufigkeit. Du könntest nun zum Beispiel sagen, dass in deiner Klasse 65% Mädchen sind.





Anwendungsgebiete der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ursprünglich ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung entstanden, weil man eine gerechte Verteilung für die Einsätze bei Gewinnspielen entwickeln wollte. Auch heute noch spielt sie in diesem Bereich eine große Rolle. Kasinos wissen beispielsweise sehr genau, welche Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn es bei welchem Spiel gibt. So können sie beispielsweise herausfinden, ob ein Spieler oder eine Spielerin betrügt.

Aber auch in statistischen Analysen greift man auf Wahrscheinlichkeitsrechnung zurück. Will man beispielsweise Aussagen über den Ausgang einer Wahl treffen oder Umfrageergebnisse hochrechnen, greift man auf Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten zurück.

Auch die Vorhersage von Unwetter oder Katastrophen wie Erdbeben erfolgt unter wahrscheinlichkeitstheoretischen Aspekten.

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