Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten Sätze der Mathematik, der in der Praxis häufige Anwendung findet – und an dem viele Schüler verzweifeln. Dabei ist er gar nicht so schwierig zu verstehen. Und extrem nützlich. Was der Satz des Pythagoras besagt, wozu man ihn einsetzt und wie man ihn berechnet, erkläre ich dir hier. Ein Tipp: Besonders einfach wird die Berechnung der Seiten mit unserem Satz des Pythagoras-Rechner.

Was besagt der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras trifft eine Aussage über das Seitenverhältnis in rechtwinkligen Dreiecken. Damit zählt dieser Satz zur Geometrie, genauer zur euklidischen Geometrie. Rechtwinklig ist ein Dreieck dann, wenn einer der drei Winkel ein rechter Winkel ist, also 90° beträgt. In rechtwinkligen Dreiecken stehen sowohl die Längen der Seiten als auch die Winkel immer in einem bestimmten Verhältnis zueinander, sodass man diese Größen voneinander ableiten kann. Die Trigonometrie befasst sich intensiv damit, aber das ist ein anderes Thema.

rechtwinkliges Dreieck

Der Satz des Pythagoras beschränkt sich ausschließlich auf die Längen der Seiten des Dreiecks. Diese haben in einem rechtwinkligen Dreieck besondere Namen. Die beiden Seiten, die direkt am rechten Winkel liegen, nennt man Katheten. Die dritte Seite heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist leicht zu erkennen. Sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Außerdem ist sie immer die längste Seite des Dreiecks. In der Mathematik bezeichnet man die Seiten oft mit a, b (Katheten) und c (Hypotenuse), um sich die Schreibarbeit zu sparen.

Seiten im rechtwinkligen Dreieck

Kennt man die Länge von zweien der Seiten, lässt sich die dritte mit dem Satz des Pythagoras ganz einfach errechnen, denn es gilt: c2 = a2 + b2 Anders ausgedrückt heißt das, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate der Katheten gleich ist mit der Summe des Flächeninhalts des Quadrats der Hypotenuse. Von Flächeninhalten spricht man hier, weil es sich so einfacher veranschaulichen lässt. Denn die Werte im Satz des Pythagoras entsprechen genau der Fläche eines Quadrats, das man auf Basis der Seiten des Dreiecks zeichnen würde. Pythagoras von Samos hat angeblich als erster bewiesen, dass diese Gleichung stimmt. Heute ist man sich zwar nicht mehr sicher, ob das auch stimmt, aber den Namen hat der Satz des Pythagoras trotzdem behalten.

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Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Länge der Hypotenuse bestimmen

Da alle Theorie trocken ist, gibt es hier auch gleich ein Rechenbeispiel.

Berechnung der Hypotenusen-Länge

In der Zeichnung sind nur die Längen von zwei Seiten bekannt, die dritte muss ausgerechnet werden. Das ist der Klassiker für Aufgaben zum Satz des Pythagoras. Wir wenden also an c2 = a2 + b2 Um die Zahlen richtig in die Formeln einzusetzen, müssen wir als erstes bestimmen, welche Seite die Hypotenuse ist. Hier ist es die Seite, deren Länge wir ermitteln müssen. Das kann in einer Aufgabe auch anders sein, das zeige ich gleich im zweiten Beispiel Es gilt:

Das bedeutet

Beispiel 2: Länge einer Kathete bestimmen

Bei Aufgaben zum Satz des Pythagoras ist es immer wichtig, zu prüfen, ob wirklich die Länge der Hypotenuse gesucht ist. Ich berechne daher noch mal das gleiche Beispiel, errechne dieses Mal aber eine der Katheten-Längen aus den anderen beiden Seiten.

Berechnung der Katheten-Länge

Es gilt:

Das bedeutet:

Wozu braucht man den Satz des Pythagoras?

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich aus den Längen von zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Länge der dritten berechnen, so viel wissen wir schon. Dies kann man in der Praxis nutzen, um Entfernungen zwischen zwei Punkten zu berechnen, die man noch nicht kennt. Nehmen wir an, ich wohne in Köln (ich wohne in Köln). Ich weiß, dass es bis Düsseldorf 47 Kilometer sind. Wenn ich statt nach Norden nach Osten fahre, also im rechten Winkel zu der Strecke nach Düsseldorf, komme ich nach 53 Kilometern nach Gummersbach. Also, Köln → Düsseldorf 47 km, Köln → Gummersbach 53 km. Mit diesen Informationen kann ich jetzt die Strecke zwischen Düsseldorf und Gummersbach ausrechnen, ohne sie zu kennen, denn sie beträgt

Wenn du das nun auf Google Maps nachprüfst, wirst du feststellen, dass das leider nur so ungefähr stimmt. Denn anders als in einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwischen Gummersbach und Düsseldorf keine gerade Verbindung. Entfernungen, die man mit dem Satz des Pythagoras berechnet, sind also immer als Luftlinien zu verstehen.

Ich habe eingangs schon erwähnt, dass rechtwinklige Dreiecke in der Trigonometrie eine wichtige Rolle spielen, denn mit ihnen kann man einfacher rechnen als mit anderen Dreiecken. Eine weitere Anwendung des Satz des Pythagoras ist daher, festzustellen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Dafür muss man es nicht sehen und auch keinen einzigen Winkel kennen. Wenn der Satz des Pythagoras gilt, muss das Dreieck ein rechtwinkliges sein.

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