Geometrie
Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik und umfasst selbst mehrere Bereiche. Im Schulunterricht wird dabei vor allem die euklidische Geometrie und die Elementargeometrie behandelt. Diese befasst sich mit Punkten, Geraden, Figuren und Winkeln und der Berechnung von zum Beispiel Flächeninhalten. Die wichtigsten Themen der Geometrie, die auch in der Schule eine Rolle spielen, stellen wir dir hier vor.
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Berechnungen von Flächen
Viele denken beim Geometrie-Unterricht vor allem daran, dass man mit Lineal, Geodreieck und Zirkel Flächen aufs Papier zeichnet und diese berechnet. Vor allem Drei– und Vierecke sowie Kreise spielen eine große Rolle im Unterricht, aber auch Vielecke werden behandelt. Bei den Vierecken nehmen Quadrate eine besondere Rolle ein. Bei ihnen sind alle Seiten gleich lang und jeder Winkel beträgt 90°. Das macht die Berechnung von Flächen besonders einfach. Auch rechtwinklige Vierecke sind noch leicht zu berechnen. Darüber hinaus wird es dann immer kniffliger.
Eine Besonderheit findet sich in Kreisen und Dreiecken, und beide werden besonders intensiv im Mathematik-Unterricht behandelt. Daher stellen wir diese beiden Figuren kurz näher vor.
Berechnungen in Kreisen
Für einen Kreis gelten besondere Regeln. Er hat keine Seiten, sondern nur einen Umfang. Jeder Punkt dieses Umfangs ist gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Die Strecke vom Umfang bis zum Mittelpunkt nennt man Radius. Er wird normalerweise mit r bezeichnet. Die Strecke, durch den Mittelpunkt hindurch Durchmesser. Es gibt nicht eine genaue Strecke, die der Radius ist, sondern unendlich viele, denn man kann jeden Punkt der Kreislinie mit dem Mittelpunkt verbinden.
Für die Berechnung von Fläche und Umfang des Kreises ist der Radius wichtig und außerdem die Kreiszahl π (gesprochen: Pi). Das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises ist für alle Kreise genau gleich und beträgt π, was ungefähr 3,1415 entspricht. Der Umfang eines Kreises ergibt sich also als 2πr, die Fläche als πr2.
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Berechnungen in Dreiecken
Dreiecke bieten ebenfalls viele Möglichkeiten zu Berechnungen, und die Trigonometrie widmet sich ihnen exklusiv. Winkelberechnungen und Streckenberechnungen in Dreiecken machen einen großen Teil des Mathematik-Unterrichts der 9. Klasse aus. Besonders bekannt ist der Satz des Pythagoras, der in rechtwinkligen Dreiecken Anwendung findet.
Körper
Flächen berechnet man immer im zweidimensionalen Raum, was abstrakter, aber auch einfacher ist. Durch eine Dimension weniger muss man auch weniger rechnen. Außerdem lassen sich Flächen einfacher zeichnen. Trotzdem werden auch Körper im Unterricht behandelt. Jede zweidimensionale Fläche hat ein dreidimensionales Pendant, für das ähnliche Rechenregeln gelten.
Wichtige Rechenregeln
Da die Reihenfolge, in der Rechenoperationen nacheinander durchgeführt werden, Auswirkungen auf das Rechenergebnis haben kann, gibt es zwei besonders wichtige Rechenregeln.
Punktrechnung vor Strichrechnung
Wenn man eine Reihe verschiedener Schritte berechnen muss und es kommen sowohl Punkt- (Mal, Geteilt) als auch Strichrechnungen (Plus, Minus) vor, so muss man immer zuerst die Punktrechnung ausführen und dann erst die Strichrechnung, egal, in welcher Reihenfolge die Zahlen auf dem Papier stehen.
Ein Rechenbeispiel:
7 + 2 • 4 = 7 + 8 = 15
Würde man die Regel Punkt- vor Strichrechnung ignorieren, so käme ein anderes Ergebnis heraus:
7 + 2 • 4 = 9 • 4 = 32 FALSCH!!!
Da die Ergebnisse sich sehr stark voneinander unterscheiden können, ist es besonders wichtig, diese Regel immer zu beachten.
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Strahlensätze
Die Strahlensätze sind ebenfalls ein wichtiger Bestandteil der Geometrie. Sie helfen dabei, Längen zu berechnen. Man unterscheiden den 1. Strahlensatz und den 2. Strahlensatz.
1. Strahlensatz
Der erste Strahlensatz besagt, dass zwei Parallelen, die zwei beliebige Geraden schneiden, dafür sorgen, dass sich die dadurch entstehenden Abschnitte auf der einen Gerade immer gleich verhalten wie die auf der anderen Gerade.
2. Strahlensatz
Der zweite Strahlensatz besagt, dass zwei Parallelen, die zwei Geraden schneiden, Parallelabschnitte erzeugen, die sich zueinander verhalten wie die Abschnitte der Geradenstücke zueinander, gemessen vom Scheitelpunkt aus.